Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
энергией, меньшей, чем состояние с т = N. (То же самое рассуждение
показывает, что ни одно состояние не может иметь в > 2Nf.)
Мы можем легко найти среднюю энергию всех состояний. Хорошо известная
теорема показывает, что среднее значение всех собственных значений
системы уравнений (8.23) равно диагональной сумме коэффициентов в правой
его части, которая в свою очередь равна произведению f на среднее
значение N - г по всем размещениям спинов. Это дает
8 = 1Д(Т. (8.34)
§ 3. Спиновые волны и ферромагнетизм
Теперь мы обратимся к случаю трехмерного кристалла с одним атомом в
элементарной ячейке. Все введенные выше упрощающие предположения сохраним
в силе.
Очевидно, что мы опять получаем уравнение (8.23), где {ji} означает
размещение спинов, каждый из которых может равняться ±1/а>
т
ГЛ. 8. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
по всем узлам решетки, а {м/} соответствует размещению, отличающемуся от
{р} перестановкой любых двух соседних противоположных спинов. Величина г
теперь будет определяться соотношением
• = E - E0 - zN (" -у?), (8.35)
где z-число соседей, которые окружают каждый атом решетки. Опять
состоянию т. - N соответствует в = 0, и поэтому применимо наше
рассуждение, согласно которому система не может обладать меньшей
энергией. Для одного "неправильного* спина мы получаем вместо (8.26)
следующее решение:
Ап = const • eigan (8.36)
с энергией
8(g) = 'r2(1~cos?,ai)- (8.37)
Здесь сумма берется по z векторам решетки которые соединяют данный атом с
его соседями. Для случая, когда имеется более одного неправильного спина,
мы опять должны рассмотреть комбинацию спиновых волн, рассеивающихся друг
на друге; при этом могут возникнуть спиновые комплексы, в которых любое
число неправильных спинов будет находиться в связанном состоянии1).
Далее, мы будем считать - и это подтверждается вычислениями,^- что в
состоянии статистического равновесия при низких температурах число
неправильных спинов будет составлять малую долю от N и что все
существующие спиновые волны будут обладать малыми значениями g. В этом
случае мы можем пренебречь рассеянием спиновых волн друг на друге и
спиновыми комплексами.
Справедливость последнего обстоятельства не совсем тривиальна, так как
спиновые комплексы для каждого данного полного волнового вектора
представляют состояние с наименьшей энергией. Однако мы видели, что,
согласно формуле (8.32), для заданного полного волнового числа 20 энергия
спинового комплекса отличалась от энергии состояния с двумя свободными
спиновыми волнами на множитель cos9(Oa/2), что для малых О означает
поправку более высокого порядка. Для одномерного случая этот вопрос был
рассмотрен Бете.
Таким образом, мы можем считать спиновые волны независимыми и ввести в
качестве переменной число спиновых волн n(g) с волновым вектором g.
Применив статистику Бозе - Эйнштейна, обычным образом найдем
(8,38)
1) Недавно Дайсон [95] показал, что в трехмерном случае спиновые
комплексы отсутствуют. - Прим. перев.
S 3. СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ И ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
199
Для низких температур нам достаточно знать s(g) пои малых g. В этом
случае, разлагая в ряд косинус в формуле (8.37), получаем
Это выражение в случае кубической симметрии может быть заменено
следующим:
в = -~-'(zdY.
где d - расстояние между ближайшими соседями. Для простой
объемноцентрированной или гранецентрированной кубических решеток с длиной
0ебра куба а энергия равна
Используя этот результат и тот факт, что в пространстве обратной решетки
число разрешенных значений g на единицу объема равно 1/(2л)8, для полного
числа спиновых волн в единице объема получаем
В том случае, когда кТ 7> подинтегральное выражение мало для значений g,
сравнимых с размерами основной ячейки, и поэтому мы можем взять
бесконечный предел интегрирования. (При более высоких температурах
примененное ранее приближение будет неверным.) Тогда относительное
количество "неправильных" спинов будет равно
где v - число атомов в объеме а3, т. е. один атом для простой, два - для
объемноцентрированной и четыре - для гранецентрированной кубических
решеток1). Численное значение интеграла равно 2,317, и, таким образом,
окончательно получим для намагничения при низких температурах следующее
выражение:
Этот закон, по всей вероятности, находится в хорошем согласии с данными о
приближении к насыщению при низких температурах
1) Следует отметить, что в случаях одного или двух измерений модель
спиновых волн дает вместо формулы (8.41) интеграл, в котором х2 dx заме-
нено соответственно на dx или х dx. При этом интеграл расходится в точке
х = 0, показывая тем самым, что приближение не оправдано и доля
"неправильных* спинов не мала. Лишь в трехмерном случае обнаруживается
ферромагнитное поведение.
I
7
(8.39)
1 Г 4 т-fpdg
(2л)' J цаад'/кТ_ j
(8.40)
(8.41)
о
(8.42)
200
ГЛ. 8. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
для реальных ферромагнитных металлов. Довольно ясно, что в строгом смысле
наша модель неприменима к реальным металлам, так как ни для одного из них
