Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
148
ГЛ. 6. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Удобно выразить смещения через нормальные координаты. Применяя формулу
(1.30), имеем
W(r) = 2 2 W; (г - а") • Vj (f, s) eifA"q(i, s). (6.43)
f, a n. j
Нормальная координата q(f, s), как известно, имеет матричные элементы,
соответствующие только такому переходу, при котором квантовое число N(f,
s) меняется на единицу. Следовательно, возмущение (6.43) может вызвать
только такие переходы, при которых электрон рассеивается с одновременным
испусканием или поглощением фонона.
Для определенности мы рассмотрим случай поглощения. Применяя выражение
(1.63) для матричного элемента нормальной координаты, находим выражение
матричного элемента W, соответствующего переходу от к к к' с поглощением
фонона f, s, в виде
(к', l'\W\k, I; f, s) =
***¦ (6A4)
Перенося в n-м члене начало координат в точку ав и вспоминая теорему
Блоха (4.7), имеем
?/
п
Последняя сумма опять обращается в нуль, если не выполнено условие
f + k - к' = К, (6.46)
где К - вектор обратной решетки. При столкновении электронов и
фононов волновой вектор сохраняется с точностью до
вектора обрат-
ной решетки. Ввиду того что f и к ограничены основной ячейкой обратной
решетки, существует только один возможный вектор f, соответствующий
заданным к и к', и только один вектор к' при заданных к и f.
Найдем так же, как и при выводе формулы (6.39), вероятность рассеяния за
единицу времени. Она равна
1(к', ГМ|к, /; s)|28[??- (к') - (к) - Аш(f, s)) N(f, s), (6.47)
S 4. ВЛИЯНИЕ КОЛЕБАНИИ РЕШЕТКИ. ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
149
где
(к', Г|А|к, I; s) =
=/т 1N S И-.лочмь.мл-М!, о
j (6.48)
a f определяется условием (6.46). Это выражение дает в то же время
вероятность излучения фонона с волновым вектором - f, если только мы
изменим знак а" в аргументе 8-функции в (6.47) и заменим N(i, s) на N (-
f, s) -f-1.
Теперь мы можем использовать этот результат в уравнении Больцмана для
нахождения распределения электронов. Правда, при этом мы опять должны
принять предположения 1 и 2 предыдущего параграфа. Это дает
А(к, 0= 2 l(k', l'\A\k, I, о)|а8 \EV (к') - ?|(к)-й(r)(|, о)]Х
к'. I', я
X{|N(f, а) + 1|"(к', Г)11- в (к, - в)"(к, ОХ
X [1 - "(к'. ОН- (6-49)
Здесь мы опять использовали схему разделения положительных и
отрицательных частот, введенную при помощи формул (1.33) и (1.64). Члены,
которые записаны в явной форме в формуле (6.49), для поло-жительных о
дают соответственно поглощение фонона f, s и переход электрона из к в к'
или обратный процесс. Отрицательное а означает испускание фонона с
волновым вектором - f, вместо поглощения фонона с вектором f, или
обратный процесс. Для заданных кик' 8-функция дает возможность
осуществиться самое большее одному из этих случаев.
Аналогичным образом изменение распределения фононов дается уравнением
N(f, s) = 2k2j(|(k'. l'\A\k, I, s) |9 8 [Ег (k') - ?* (k)-fi<o (f', s)] X
X{[W(f, s)+l] re(k', Oil-"(k. 01 -
- N(f, s) 11 - n(k', I')] n{к, I)}, (6.50)
где, конечно, подразумевается, что k, к' и f связаны условием (6.46).
Выражения (6.49) и (6.50) обращаются в нуль, если мы подставим в качестве
числа электронов функцию Ферми /(?) и для числа фононов его среднее
значение, соответствующее данной температуре и равное №(f, s), согласно
(2.4). Это следует из соотношений
№ s) _ е-Пт (f, a)/kT N*{1,s)+l e
, e-{E-i)VkT !-/<?) *
(651)
150
ГЛ. 6. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Легко заметить, что в том случае, когда удовлетворяется закон сохранения
энергии, так что 8-функция не обращается в нуль, последняя скобка как в
(6.49), так и в (6.50) является разностью между двумя членами, отношение
которых, согласно (6.51), равно единице.
Отсюда видно, что распределение Ферми для электронов и распределение
Планка для фононов являются стационарными относительно столкновений. Это,
конечно, обеспечивается в общей форме принцип пами статистической
механики.
Рассмотрим теперь малое отклонение от статистического равновесия, которое
мы запишем в виде
.№ 0 -/")-"* 0*ffi-/(g>+?d+<^+o.
N(,,
(6.52)
Здесь мы использовали сокращенные обозначения:
Т = ЬГг (6-53)
Подставляя выражения (6.52) в (6.49) и (6.50) и ограничиваясь членами
первого порядка по g и О, мы получаем
я (к, 0 = ^ J |(к', V \А\ к, /, а)|98(?' - Е - й<о)Х
Х(/ + 1)(*-' + 1)|"т_ц; (6,54)
N(1, s) = jy 2 ,(к'' l'\A\k> Z* s)|a8(?' - Е - Йш)Х
Х(^+1)(*-' + 1)|*т_1|' (6,55)
Аргументы Е, g и др. не записаны здесь в явной форме, но из контекста
ясно, что, например, g означает g-(k, /), a g' означает
g<y> О-
Очевидно, что распределения (6.52) будут стационарными, если мы примем
g= const, 0 = 0, (6.56)
или
g=,\E, 0 = Ш, (6.57)
где X - бесконечно малая константа. Действительно, из (6.52) ясно, что
первое из этих решений соответствует бесконечно малому изменению т), а
вюрое - бесконечно малому изменению температуры. Эти два параметра,
конечно, связаны с сохранением числа электронов
g 4. ВЛИЯНИЕ КОЛЕБАНИИ РЕШЕТКИ. ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
151
и законом сохранения энергии. Если бы столкновения были ограничены таким
