Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Мы обозначим возмущающий потенциал через W(r) и будем считать, что он
появляется в результате суммарного действия большого числа одинаковых
рассеивающих центров, так что
Примем далее, что возмущение, вызванное каждым из этих центров, является
достаточно слабым, и их число настолько мало, что в целом потенциал W
можно рассматривать как малое возмущение.
В случае, если мы запишем электронную волновую функцию в момент времени t
в виде
где - решения волнового уравнения для идеальной решетки в отсутствие
возмущения, то волновое уравнение приведет к соотношению
§ 3. Статические препятствия. Примеси и нарушения решетки
Г(г) = 2>(г -R.,).
(6.29)
Ф (г, 0 = 2 "к. i (0 'X г (г) e'iEi(k) т к, I
(6.30)
144
WI. в. ЯВЛЕНИЯ переноса
где
(к, /1 W | к', I') = JVkiJ (г) Г (г) V, г (г) dv (6.32)
есть матричный элемент возмущающего потенциала. В первом приближении мы
можем рассматривать коэффициент а в правой части (6.31) как константу;
следовательно,
S, # i(E-E')t/n_,
(k, l\W\W, l')av,i>(Q)e Е_Е, (6.33)
к'. V
где через Е и Е' сокращенно обозначены энергии, стоящие в экспоненте
(6.31).
Поэтому, если известно, что при f = 0 электрон находился в состоянии к,
/, то вероятность найти его в момент времени t в состоянии к', I' равна
|(к', Г|Г|к, /) |" 2а | (к', /'|r|k,/)pD(0. (6.34)
В некотором смысле это выражение есть вероятность перехода
из состояния к, { в состояние к', I'. Однако, строго говоря, оно
пригодно только, если электрон первоначально находился в стационарном
состоянии. Если бы мы учли в (6.33) не только один из коэффициентов о(0),
но и другие, то при возведении в квадрат в (6.34) мы получили бы также
смешанные члены. Применим теперь полученную формулу для того, чтобы
проверить свойство стационарности электронного распределения. Время ? = 0
при этом должно соответствовать произвольному моменту после того, как
возмущение уже действовало в течение некоторого времени. Из формулы
(6.33) очевидно, что даже если при t = 0 только один из коэффициентов был
не равным нулю, то в момент t это уже будет неверно. Ввиду этого могут
возникнуть фазовые соотношения между коэффициентами разложения ак.
Например, если бы возмущение в некоторой области имело форму
отталкивающего потенциала, то под его влиянием в этой области,
несомненно, возникло бы уменьшение электронной плотности, что должно было
бы выражаться при помощи стоячих волн или фазовых соотношений между
коэффициентами бегущих волн, которые мы применяли при разложении.
Если мы собираемся пренебречь такими фазовыми соотношениями, то это
нуждается в оправдании. Поэтому мы сделаем следующие два предположения:
Предположение 1. Природа возмущающего потенциала такова, что мы можем
получить статистический ансамбль электронов, распределяя электроны по
стационарным состояниям идеальной решетки с соответствующими
вероятностями, но без смешанных членов.
§ 3. СТАТИЧЕСКИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ. ПРИМЕСИ И НАРУШЕНИЯ РЕШЕТКИ 145
Это предположение будет оправдано, если рассеивающих центров много и они
распределены случайным образом, так что в полученном выражении для
вероятностей (6.34) можно произвести усреднение по положениям этих
центров. При этом квадрат диагонального матричного элемента в (6.34),
согласно (6.29), имеет вид
| (k'f l'\W\k, /)|а = 2| (к'. I' | (tm) | к. О |а ei(k"k',-(VB*).
(6.35)
Если мы независимо усредним по положениям R,, то все члены, за
исключением тех, в которых р. = ", обратятся в нуль. Таким образом,
квадрат матричного элемента оказывается пропорциональным числу
рассеивающих центров, что является вполне разумным. В дополнение к этому,
если бы мы взяли вместо (6.34) смешанный член, то мы получили бы сумму
членов вида
которая после усреднения по R, даст нуль, если не выполнено условие к' =
к". Вообще говоря, могли бы еще существовать фазовые соотношения между
состояниями с одним и тем же к и разными I, но так как последние всегда
имеют разную энергию, то они не будут связаны при упругих столкновениях.
Итак, мы свели предположение 1 к предположению о случайности расположения
рассеивающих центров - требованию, тесно связанному с обычным
представлением о виде "интеграла столкновений* в кинетической теории
газов.
Принимая формулу (6.34) для вероятности перехода, получаем для изменения
числа электронов в состоянии к в течение промежутка времени от 0 до t
выражение, подобное (6.2), а именно
где D-функция, определяемая уравнением (6.34).
Функция D, рассматриваемая как функция от Е', имеет резкий максимум при
Е' = Е. Ширина этого максимума имеет порядок b/t. Поэтому обычно
принимают, что изменение других множителей в формуле (6.37) в зависимости
от Е' мало; таким образом, мы можем подставить их значения при Е' = Е и
выполнить интегрирование с одной функцией D. Поскольку
то число переходов пропорционально времени и мы можем переписать формулу
(6.37) в виде
re(k, I, t) - n(k, I, 0) =
= 2 I (к', l'\ U7|k, /)|а[я(к', /') - п(к, 01D(t), (6.37)
(6.38)
"(к,0 = х2|(к''/'1Г|к'/>1Э[лГ) - п(к' ^8(?'- (6,39)
