Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
справедливое, когда
0)(f, s)-f-o>(f', s') = (B(f". O*
и опуская индекс у №, так как теперь все числа фононов относятся к
равновесному состоянию, мы получаем окончательное "уравнение Больцмана"
s'; "'Я'х
а', а"
х cocoV'S (О) + ш' - ш") (N+ 1) (ЛЛ + 1) N" {g" - ?•-/) +
+ 2 7lb(f, s; f', s'; OI9"(r)'(r)w8((r) -"' - "Ox
X (TV-1) N'Nm (/ + fT - *)) • (2.76)
Это условие стационарности распределения фононов.
S S. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
61
Из этой записи очевидно, что в отсутствие температурного гра-щента
уравнение допускает решение
g(f, s) = const • ш (f, s), (2.77)
гак как при этом значении g скобки в (2.76) обращаются в нуль
Злагодаря свойствам 8-функций. Это решение имеет очень простой физический
смысл. Действительно, легко видеть, что подстановка (2.77) в (2.74) дает
выражение, пропорциональное (2.73), и таким образом это решение
соответствует просто бесконечно малому изменению
температуры. Очевидно, что (2.72) должно приводить к стацио-
нарному распределению вне зависимости от значения температуры. Далее, в
общем случае неоднородное уравнение типа (2.76) имеет решение только в
том случае, если свободный член будет ортогонален ко всем решениям
соответствующего однородного уравнения. Это действительно имеет место для
решения (2.77), так как последнее представляет собой четную функцию
направлений, т. е. не меняется при замене /х на -fx, тогда как левая
часть (2.76) является нечетной функцией. Иными словами, градиент
температуры не имеет тенденции увеличивать или уменьшать температуру в
любой заданной точке.
Если бы мы опустили процессы переброса, то однородное уравнение допускало
бы и еще одно решение:
?(f, s) = const • fx, (2.78)
которое не было бы ортогонально к левой части.
Это обстоятельство можно было бы положить в основу метода решения
уравнения при низких температурах, если бы закон дисперсии был известен с
точностью, позволяющей действительно определить решения (2.61) и (2.62).
Мы могли бы заметить при этом, что при низких температурах, приводящих к
перебросу, столкновения редки, так что при большинстве столкновений
распределение (2.78) сохраняется. Поэтому имеет смысл предположить, что
действительное распределение дается соотношением (2.78) с малой
поправкой, порядка отношения количества процессов переброса к количеству
обычных процессов. При этом мы можем найти постоянный множитель в (2.78),
умножив уравнение (2.76) на /ф и просуммировав по всем f и s. Иными
словами, мы рассчитываем при этом величину изменения Jx. В правой части
равенства в этом случае имеют значения только процессы переброса, и мы
можем пренебречь отклонениями истинного распределения от (2.78) как
малыми величинами более высокого порядка. Тогда правая часть будет
известна нам с точностью до константы. Уравнение определяет, таким
образом, константу в (2.78) и с ее помощью перенос энергии. Однако в
действительности мы только подтверждаем при этом результат (2.64),
который мы уже вывели при помощи качественных рассуждений; количественных
результатов мы не сможем получить без более подробного изучения закона
дисперсии.
68 ГЛ. 2. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
§ 6. Высокие температуры
В той области, где пригодна классическая механика, т. е. в области Г > 0,
числа фононов, входящие в соотношение (2.76), будут очень велики, так что
N-]-l можно заменить на N, причем величина N пропорциональна температуре.
Собирая температурные множители в уравнении, легко видеть, что для
заданного градиента температуры g должно быть пропорционально Г-3.
Возвращаясь к (2.74), мы видим, что из этого вытекает пропорциональность
изменения среднего числа фононов N1 величине 1/Г, и поэтому мы можем
считать, что перенос энергии и теплопроводность пропорциональны 1/Г.
Обычно ститают, что этот теоретический закон согласуется с действительным
поведением большинства кристаллов при высоких температурах.
Однако с теоретической точки зрения привильность этого закона была
поставлена под сомнение Померанчуком [57J. Его рассуждение основывается
на уже отмеченном нами факте, что длинноволновые продольные фононы (или,
точнее, фононы с s = 3) могут принимать участие только в столкновениях, в
которых другие фононы имеют сравнимую длину волны. Рассмотрим теперь
уравнение Больцмана (2.76) для случая s = 3 и очень малых /. В этом
случае левая сторона пропорциональна /-1. Так как f также имеет величину
порядка /, то интегрирование по f' охватывает объем порядка /8. Однако о-
функция допускает только одну поверхность внутри этого объема, площадь
которой пропорциональна /2. Числа фононов обратно пропорциональны
частотам, и поэтому частотные множители сокращаются. Было найдено, что
для малых частот коэффициент 6 является постоянным. Следовательно, правая
сторона пропорциональна /2, умноженному на некоторое среднее значение g,
усредненное по аргументам порядка /. Поэтому уравнение требует, чтобы g
для малых / было порядка /~3. Отсюда следует, что N1 в (2.74)
