Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
движения планет можно не различать также и два вида времени.
Наше настоящее рассмотрение - конкретная иллюстрация того факта, что
отклонения компонент g^v от их галилеевых значений, очень малые с
метрической точки зрения, могут быть, однако, очень важными с
гравитационной точки зрения.
216
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Поскольку дополнительный член Зти2 в правой части (83.15), как легко
видеть, используя (83.11), весьма мал по сравнению с m/h2, различие между
релятивистским и ньютоновским уравнениями очень незначительно.
Следовательно, за решение релятивистского уравнения (83.15) можно принять
в первом приближении хорошо известное решение ньютоновского уравнения
(83.16):
ы= -р-{1 + ecos(cp-со)}, (83.17)
где е - эксцентриситет орбиты, а со - долгота перигелия. Подставляя
это решение в (83.15), получаем в качестве удовлетво-
рительного второго приближения выражение
и= jl+ecos^cp-со- И5Т"ф)]* (83.18)
Из вида его сразу следует, что за время одного полного оборота планеты
долгота перигелия ее ньютоновского эллипса должна смещаться на величину
6со=^. (83.19)
Меркурий - единственная из планет Солнечной системы, для которой
предсказанное смещение оказывается настолько значительным, что его можно
с уверенностью измерить. Предсказанное смещение долготы перигелия для
Меркурия равно 42,9" за за 100 лет, а наблюдаемое смещение равняется
43,5" [61]. Соответствие результатов можно считать вполне
удовлетворительным.
б) Гравитационное отклонение света. Вторая из трех решающих проверок -
это отклонение света при прохождении его через гравитационное поле вблизи
Солнца.
Согласно общей теории относительности (см. § 74, д) траектории световых
лучей, как и свободных частиц, должны определяться уравнениями
геодезических линий с дополнительным условием ds = 0 для интервала.
Следовательно, если ввести это условие, наши предыдущие уравнения для
планетных орбит будут применимы и в случае распространения световых лучей
в поле притягивающей точечной частицы. Более того, из (83.11) видно, что
это дополнительное условие может быть просто учтено, если положить h- оо
в (-83.15); это дает уравнения для траектории световых лучей вблизи
притягивающей точечной частицы с массой пт.
^ -г и - Зти2 (83.20)
при
и=Мг. (83.21)
§ 83. ТРИ "РЕШАЮЩИХ ОПЫТА" ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
217
В отсутствие возмущающего члена 3ти2 решением (83.20) является прямая
линия
г cos ср=/?, (83.22)
которая проходит на расстоянии R от притягивающей точки. Подставив снова
(83.22) в (83.20), получим второе приближение:
rcoscp = R - (г cos2 ср f 2rsin2cp). (83.23)
Переходя к декартовым координатам, что возможно в прост-
ранстве, близком к евклидову, которое окружает Солнце, мы можем
переписать последнее выражение в виде
л- == R - л'2'.: 2?/~- - (83.24)
Для больших значений у это дает
x = R--~(±2y),
где верхний знак соответствует положительным у, нижний - отрицательным.
Следовательно, угол между асимптотическими направлениями лучей равен
0 = ^-. (83.25)
Лучи света, касающиеся солнечного диска, должны отклоняться согласно этой
формуле на угол в 1,75 угловой секунды. Это предсказание можно проверить,
определяя во время полного солнечного затмения видимое положение звезды,
свет которой проходит вблизи солнечного диска. Результаты наблюдений
прекрасно согласуются с теорией. Первая и очень точная проверка
релятивистской теории была сделана английской экспедицией, наблюдавшей
солнечное затмение 1919 года. Наиболее надежные в настоящее время данные
получены Кэмпбелом и Трамплером (экспедиция Ликской обсерватории, 1922
г.); 1,72"+0,П'/ и
1,82"±0,15" для двух камер различных размеров [62].
Полезно отметить, что релятивистское выражение для отклонения света
вблизи объекта с массой m (83.25) вдвое больше того, которое получается в
обычной ньютоновской теории для частиц, распространяющихся со скоростью
света.
Чтобы получить ньютоновский результат, рассмотрим частицу, летящую
приблизительно параллельно оси у и встречающую массивную частицу m на
расстоянии x-R. Ускорение в направлении оси л- тогда равно
d2x mx
218
ГЛ. VI, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
или с точностью, достаточной для наших целей,
(!гх mR
dlJ2 (Я2 -г Уг)3/1 '
Решив последнее уравнение и выбрав константы интегрирования так, чтобы
(dxjdy)-O и x=R при у=0, получим приближенное выражение для траектории
при больших у:
x = R--?(±y),
откуда видно, что угол между асимптотическими направлениями
в два раза меньше предыдущего результата (83.25)*).
Из-за столь резкого расхождения результатов релятивистской н
квазиньютоновской теорий описанный опыт становится особенно важным.
в) Гравитационное смещение спектральных линий. Третий решающий для
общей теории относительности опыт - это нахождение зависимости длины
волны света от гравитационного потенциала источника, его испускающего. Мы
уже приближенно рассматривали такую задачу в § 79, б с помощью принципа
эквивалентности. Используя шварцшильдовский линейный элемент, мы можем
