Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
(Пв) Rabtatb ^ 0 для каждого временноподобного вектора ta.
(Пг) Ж полно относительно временноподобных геодезических, направленных в
прошлое.
Можно рассматривать (Па) и (Пб) как утверждения о том, что "вселенная
является (или была) пространственнокомпактной и расширяющейся". Однако
такое "расширение", какое подразумевается в (Пб), должно иметь место в
каждой точке Ж. Таким образом, в присутствии коллапсирующего объекта мы
не можем обеспечить (Пб) для Ж "в настоящее время". Поэтому, если бы это
условие было выполненным, вероятно, Ж следовало бы относить к ранним
фазам расширения.
С учетом уравнений Эйнштейна (7.1) тр. ювание (Пв) является
энергетическим условием (7.47), которое (если еще К = 0) очень разумно с
физической точки зрения.
11. СИНГУЛЯРНОСТИ в космологии
165
Теорема III (теорема Хокинга) .Следующие требования на пространство-время
Ж несовместимы:
(Ша) Сильная причинность выполняется в каждой точке из !-(Р) для
некоторой точки Р <= М,
(III6) Дивергенция всех временноподобных и световых геодезических,
проходящих через Р, изменяет знак где-то в прошлом от точки Р.
(Шв) Rabtatb ^ 0 для каждого временноподобного вектора ta.
(Шг) Ж полно относительно временноподобных и световых геодезических,
направленных в прошлое.
Условие (Шб) сформулировано несколько нестрого, поскольку дивергенция
временноподобных геодезических измеряется величиной 0 из (7.40), а
дивергенция световых геодезических измеряется с помощью р из (7.18),
(7.33). Область, в которой р изменяет знак, не есть в действительности
предел области, в которой 0 изменяет знак, Другая формулировка (Шб)
состоит в упоминании только временноподобных геодезических и в
утверждении, что (соответствующее) изменение знака происходит внутри
компактной области,
Я дам набросок доказательств теорем 11 и 111, указывая также главные
леммы. (Эти леммы и их доказательства по существу заимствованы у Хокинга
[40, 42], хотя приведенное здесь обсуждение несколько отличается от
оригинального.)
Лемма IV. Если существует пространственноподобная гиперповерхность Ж (без
границы), являющаяся замкнутым подмножеством Ж (т. е. собственно
вложенным), то существует накрывающее многообразие Ж* для Ж, где прообраз
Ж под накрывающей картой состоит из множества дискретных изометрических
копий Ж, каждая из которых является полупро-странственноподобной в Ж*.
Идея состоит в том, чтобы превратить Ж [в (Па)] в
полупространственноподобное множество, "развора-
160
11. СИНГУЛЯРНОСТИ в космологии
Рис. 43. Тип ситуаций в теореме II, который следует иметь
в виду.
чивая" Ж, но не настолько сильно, чтобы новое Ж стало некомпактным. Для
этой цели выбираем точку О в Ж, затем каждому Pei и каждому классу
эквивалентности кривых, соединяющих О и Р, число пересечений которых с Ж
есть заданное целое число, ставим в соответствие точку Ж*. (Число
пересечений является гомотопическим инвариантом, поскольку Ж не имеет
краев.) Легко проверить, что Ж* обладает свойствами, требуемыми в лемме.
[Эта конструкция позволяет эффективно получить Ж* из универсального
накрывающего многообразия для Ж, устанавливая отношение эквивалентности
между элементами фундаментальной группы Ж, а именно называя два таких
элемента эквивалентными, если они дают равные числа пересечений с Ж (см.
также [34]).]
Без уменьшения общности мы можем теперь рассматривать Ж* как Ж в теореме
И, так что мы можем считать Ж полупространственноподобным множеством.
Чтобы мы могли рассматривать теоремы II и III параллельно, определим для
теоремы III
Ж = }- (Р). (13.6)
(Выполнение сильной причинности в Р означает, что Ж есть непустое
множество, напоминающее световой
и. СИНГУЛЯРНОСТИ в космологии
167
р
этого направления
Рис. 44. Неприятный тип ситуации в теореме III, который следует иметь в
виду.
конус в Р.) Тогда в обоих случаях мы имеем Ж = Ж как бескраевое
полупространственноподобное мно* жество.
Полезно иметь в виду некоторые типы ситуаций, которые могут возникнуть. В
теореме II мы имеем дело с ситуацией типа той, которая изображена на рис.
43. Ни Н-(Ж), ни 1-[Ж] не могут встретить Ж, поскольку Ж является
бескраевой и пространственноподобной гиперповерхностью. Каждая точка Н-
(Ж) лежит на продолжимой в будущее световой геодезической на Н~(Ж).
Геодезическая может уходить в бесконечность или (поскольку предположений
причин* ности мы не делали) просто по винтовой линии в не* которой
компактной области (ср. с рис. 33). Неприятный тип ситуаций, который
может встречаться в теореме III, изображен на рис. 44. Здесь Н-(Ж) может
пересекать Ж. [Именно эта возможность вынуждает нас ввести предположение
причинности (Ша).]
Лемма V. Если Ж - Ж является бескраевым и полупространственноподобным '),
то \п\.0.(Ж) состоит
') Примечание к русскому изданию. Условия на Ш необходимо дополнить
требованием, чтобы в каждой точке Ж выполнялась сильная причинность (см,
[131*]),
168
11. СИНГУЛЯРНОСТИ в космологии
из всех точек Хе/-И Для которых множество J+(X) П /_[Ж] является
