Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
подумать, что звезда всегда остается вне г = 2т. Но если мы вычислим
полное собственное время частицы, находящейся на поверхности звезды,
причем для простоты предположим, что звезда коллапсирует свободно, то мы
обнаружим, что собственное время является конечным. Таким образом,
наблюдатель, падающий вместе со звездой, по истечении этого
10. гравитационный коллапс
135
Ри с. 34. Картина Шварц-шильда.
конечного времени должен быть либо уничтожен (например, вследствие
бесконечных приливных сил или других форм сингулярности), либо он
обнаружит, что находится в другой части вселенной, не покрываемой
координатами (10.1),
В данном случае реализуется вторая возможность. В этом можно убедиться с
помощью преобразования координат в (10.1), если ввести опережающий
временной параметр v - t + г -f- 2т In (г - 2т). Тогда метрика принимает
форму Эддингтона - Финкель-штейна [27, 32] [ср. с (8.14)]:
ds2 = (1 - 2m/r) dv2 - 2 dvdr ~~
- г2 (dQ2 -f- sin2 8 dqp2). (10.2)
При г > 2т формы (10.1) и (10.2) в точности эквивалентны, но (10.2)
обладает тем преимуществом, что метрика покрывает большую область, причем
без всяких особенностей. В окрестности (световой) гиперповерхности г - 2т
метрика является совершенно регулярной. Эту гиперповерхность иногда
называют сингулярностью Шваришильда только потому, что более привычная
форма (10.1) обладает координатной сингулярностью на г == 2т. Поверхность
звезды пересекает г = 2т при определенном значении v (хотя, конечно,
неподходящий параметр / становится здесь бесконечным) и движется дальше в
направлении г - 0.
13S
10. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС
Область, не вошедшая в рис. 34
Л
Р и с. 35. Картина Эддингтона - Финкель-штейна.
г=0 г=2т г=4т
Но вследствие расположения световых конусов (рис. 35) внешний наблюдатель
ничего не может увидеть в пустой области г ^ 2т. Это происходит потому,
что в пустоте г=2т является световой гиперповерхностью, лежащей "выше"
(т. е. в будущем от) всей внешней области. Наблюдатель или сигнал могут
пересечь гиперповерхность снаружи внутрь, но не наоборот.
Гиперповерхность г = 2т является горизонтом событий, причем более
абсолютного характера, чем большинство из тех, которые рассмотрены в
разд. 9. Действительно, эта гиперповерхность служит горизонтом событий
для всех геодезических, уходящих на бесконечность.
Если проследить за поверхностью звезды внутри области г = 2т, то мы
увидим, что она с неизбежностью достигает г - 0. Дело в том, что
поверхность должна непрерывно двигаться во временноподобном направлении,
а световые конуса наклоняются все больше и больше в сторону оси г - 0.
Если мы опять вычислим полное собственное время частицы, находящейся на
поверхности звезды (предполагая падение свободным или несвободным),
вплоть до точки, в которой частица достигает г = 0, то мы обнаружим, что
это время конечно. Но теперь нет никакой надежды
10. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС
137
продолжить решение дальше. Если вычислить скаляры кривизны, построенные
из тензора Вейля, то мы найдем, что они стремятся к бесконечности при /•-
>- 0. Таким образом наш наблюдатель, успешно сопровождавший звезду через
г = 2т, теперь должен быть разорван бесконечными приливными силами в
истинной сингулярности г - 0.
Эта схема была нарисована Оппенгеймером и Снайдером [68], когда они
рассматривали динамику коллапсирующего однородного облака пылевых частиц.
Пространство-время внутри такого пылевого облака также может быть точно и
просто описано и оказывается не чем иным, как (частью) вселенной Фридмана
(разд. 9). Это опять подчеркивает тесную связь между конечной
сингулярностью при гравитационном коллапсе и конечной (или начальной)
сингулярностью в релятивистской космологии.
Если мы хотим рассмотреть всю историю гравитационно связанного газового
облака Оппенгеймера- Снайдера, а не только заключительные стадии
гравитационного коллапса, то для этой цели даже метрическая форма (10.2)
не годится, так как она не покры-
138
10. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС
вает всей пустой области. Поведение пылевого облака симметрично во
времени. Так же как и вселенная Фридмана при k= 1 (А = 0), облако
расширяется из начальной сингулярности до максимального объема и затем
сжимается до конечной сингулярности. Таким образом, следует ожидать, что
возможна сшивка области, заполненной материей, с наружной пустой сфе-
рически-симметричной областью, которая также симметрична во времени. Мы
можем изобразить эту область, используя U, Т-координаты Крускала [50а],
которые связаны с координатами Шварцшильда г, t (в области г > 2т)
посредством соотношений
уи = еП'ш(\ ~2^г). (Ю.З)
Тогда метрика принимает вид
ds2 - pdUdV - r2 {dQ2 + sin2 9 ??qp2), (10.4)
где
/2 = J 32^T j е_г/2" (ш>5)
Область, занятая материей, соединяется с областью Крускала вдоль
временноподобной гиперповерхности. Эта гиперповерхность изображается
временноподобной геодезической на (t/, V)-плоскости Крускала (рис. 36).
Другими словами, в этой модели рассматривается только часть диаграммы,
