Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
уравнением, решения которого имеют для любого значения s то же самое
число "степеней свободы" (а именно, две), что и в двух случаях s = V2, 1.
Однако в искривленном пространстве-времени мы имеем условие совместности
[16, 84]
(2 - 2s) (сФо ... L)ABM = ^A)P\ABCD ... , =
= Vp'V^P фЛВС?)... = 0, (8.29)
так что при s ^ 3Д уравнение (8.25) определяет связь между ф ав-ь и
спинором конформной кривизны YABCD¦ Но в случае фAbcd = У abcd уравнение
(8.29) удовлетворяется автоматически в силу условий симметрии. Мы оставим
в стороне вопрос об уравнениях поля для высших спинов и займемся
интерпретацией
(8.25) только в случаях s = V2 (нейтрино), s=l (электромагнетизм) и S -2
(гравитация).
Важным свойством (8.25) является его конформная инвариантность, если
принять
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
105
Нам потребуются различные формулы конформных преобразований. Из ds = Qds
мы имеем
VaA&B ^АА&В VBA&A' VАА'^В' ^ АА'^В' ^ЛВ'Ч'Г'
При обращении с величинами, имеющими более одного индекса, мы просто
рассматриваем их как произведение, согласно правилу Лейбница. Другими
словами, мы получаем по одному члену х>ху, для каждого индекса. Для
проверки правильности (8.34) надо лишь показать, что удовлетворяются
аксиомы (4.50)-*
После подстановки (8.30) в (8.25) с учетом (8.34) получаем выражение
которое и доказывает конформную инвариантность. Однако применять это
уравнение к гравитационному
•) Несколько иное, по сравнению с [76], определение конформного
преобразования спиноров, принятое здесь, приводит к отличающимся формулам
преобразования. Это различие обусловлено постановкой вопроса, принятой в
разд. 3. В действительности формулы, полученные здесь, несколько проще
тех, которые фигурируют в [76]; кроме того, устранены дробные степени Й.
(8.32)
(8.31)
^аХ=УаХ-
(8.33)
Для величин с индексами имеем, например,
(8.34)
где
(8.35)
(4.58).
(8.36)
106
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
полю надо с осторожностью. Тензор Вейля конформно инвариантен, т. е.
Cabcd = Cabcd и СаШ = Q?Cabcd. Следовательно,
^ ABCD~^T ABCD- (8.37)
Таким образом, если в соответствии с физической метрикой ds мы полагаем
Ф ABCD - ^ABCD' (8.38)
то, согласно (8.30) и (8.37), имеем
флвсо = й !\Fabcd- (8.39)
Именно поле фabcd мы отождествляем с гравитационным полем, когда
исследуем Ж, соответствующее
метрике d s.
Значение этого состоит в поведении поля на & и в связи с этим поведением
со свойством последовательного вырождения. Напомним, что согласно (8.22)
Ч'abcd обращается в нуль на &, Из (8.39) и условия гладкости получаем
Фabcd НЕПРЕРЫВН0 НА 3- (8.40)
Теперь можно без всяких усилий вывести свойство последовательного
вырождения для произвольного спина s, предполагая непрерывность фдв-ь на
Введем спиновую систему отсчета оА=е0А, iA=e1A. Для метрики ds положим
° а - °а> 1a - &La> бЛ = й_1оА, 1Л = 1А; (8.41)
sto согласуется с (8.32) и (4.27). Мы сделали асимметричный выбор (8.41)
для того, чтобы направить оЛ вдоль световой геодезической г), причем оА,
iA переносятся параллельно (относительно ds) вдоль тр
Voo '0А = 0, V0o'iA = 0. (8.42)
Тогда из (8.34) и (8.41) следует
Voo'6A = 0, Voo'tA == Q 6aVio'?2. (8.43)
Таким образом, оА переносится параллельно вдоль г] относительно метрики
ds и достигает
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
107
определенного значения в точке Q± = т] П 9±. На са-мом деле М также имеет
определенное предельное значение в Q± и направлено вдоль 9± в точке Q±
(так что Vio'Q == 0 на 9; ср. с [76]). Аффинный (относительно ds)
параметр г на тр определенный как
Voo'r=l, (8.44)
имеет асимптотическое поведение
г~?Г'. (8.45)
Далее, по предположению, все компоненты фшз...г относительно спиновой
системы oA,iA непрерывны в Q±. Используя (8.30), (8.41), (8.45), мы
сформулируем это на языке физических величин следующим образом:
Существует lim fr2s+1 'фегЛ (i = 0, 1, ..., 2s), (8.46)
Г-*± оо ' "
где ф(г) обозначает вырождение фоо... oi ... ь содержащее i "единиц" и
(2s - i) "нулей". Уравнение (8.46) гласит, что r~h (где k=\, 2, ..., 2s)
часть Фав ... l вдоль т] удовлетворяет соотношению
Vab...de...loA°B ••• о° = °, (8.47)
содержащему k спиноров оА. Условие (8.47) есть как раз условие того, что
по крайней мере 2s - k -\- 1 главных световых направлений фл...ь
совпадают в направлении тр Это и есть свойство последовательного
вырождения.
В случае гравитации свойство последовательного вырождения является
характерной чертой асимптотической евклидовости Бонди - Сакса. Можно
связать более непосредственно точный тип координат, используемых в
подходе Бонди - Сакса, с конформной структурой, возникающей в
рассматриваемом формализме. Это строго сделали Тамбурино и Виникур [104].
Поэтому в данном подходе мы можем определить асимптотическую евклидовость
Ж как асимптотическую простоту в слабом смысле в случае, когда X = 0 и
Таь - 0 вблизи 9'. Если же Таь только стре-
108
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
мится к нулю некоторым образом при приближении к бесконечности, нам могут
