Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
где Я, I, т - постоянные коэффициенты, а множитель 2 введен для того,
чтобы избежать появления дробей в дальнейшем. Отсутствие в приведенном
разложении постоянной, разумеется, не имеет принципиального значения, но
вместе с тем, поскольку такой выбор означает, что при t2 = 0 мы будем
иметь удобное значение g2=0, интервал (182.1) в окрестности начала
координат в текущий момент времени тем самым приводится к такому же виду,
как и в специальной теории относительности. Таким образом, красное
смещение, наблюдаемое в начале координат, согласно (182.2) определяется
выражением
где Ч - момент в прошлом, когда наблюдаемый свет был испущен туманностью.
Для сравнения с астрономическими данными более удобно, однако, выразить
красное смещение не через степени Ч- времени испускания, а в виде ряда по
степеням г - расстояния до рассматриваемой туманности. Чтобы получить
такое разложение, нам нужно знать значения последовательных производных
по г от 6АД в точке г = 0.
Для первой производной согласно (182.4) мы можем написать
(182.3)
- 1, (182.4)
(182.5)
§ 182. РАССТОЯНИЕ ДО ТУМАННОСТИ И КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ
485
где dti/dr - изменение времени при изменении координатного расстояния до
рассматриваемой туманности. Зная из вида интервала (182.1) выражение для
скорости света, можно dtjdr представить следующим образом:
откуда после подстановки в (182.5) находим первую производную по г от
6Л./Я:
что совпадает с равенством (156.6), полученным прежде.
Точно таким же образом можно получить выражения для более высоких
производных от 8Я/Я. Беря функцию g(t) в виде
(182.3) и полагая после дифференцирования г=0, получаем
где особенно приятно отметить, что зависимость от пространственной
кривизны, т. е. от Ro, появляется только начиная с третьей производной.
С помощью найденных производных мы можем выразить зависимость красного
смещения от координат туманности в виде ряда Тейлора - Маклорена:
Сопоставление с реальной Вселенной дает значение для первого коэффициента
разложения (постоянной Хаббла).
которое согласуется с результатом Хаббла и Хьюмасона (177.15), поскольку
в пределах ошибок измерений d можно заменить на г.
Что касается коэффициентов при следующих членах разложения, то для них
можно установить верхние и нижние границы,
7!*.
М1 d?
}Л-г"3/Я20 '
е
(182.6)
(182.7)
(182.8)
Я=5,7Ы0-10 (лет)-1,
(182.10)
486
Гл. X. космология
исходя из того факта, что в пределах ошибок наблюдения красное смещение
возрастает с расстоянием приблизительно линейно вплоть до самого далекого
скопления в созвездии Льва, т. е. вплоть до расстояний 108 световых лет.
Из графика зависимости красного смещения от расстояния (рис. 12) можно
увидеть, что отклонение от линейности 6А,/Х-Нг не превосходит 1% при 107
световых лет, 3% при 3-107 световых лет и 18% при 108 световых лет. Это
означает, что в качестве разумного верхнего предела для значений
последующих коэффициентов можно взять
|/| <5-10_!9 (лег)-2 (182.11)
'5-10 27 (лет)-8, (182.12)
Н I 1 ui I
ТЩ + -ш + т
безотносительно к знаку.
Эти верхние пределы приводят к следующему отклонению (в процентах) от
простой формулы б Х/Х -Hr при различных расстояниях (табл. V):
Таблица V
Расстояние, свето- МО7 2-107 3 -107 6-107 10107
вой год
член с г2 член с г 0,9% 00 2,6% 5,3% GO СО
член с г3 член с г 0,1% 0,4% 0,8% 3,2% -.о с • со 00
§ 183. Связь плотности с пространственной кривизной и космологической
постоянной
Сопоставим оценку (177.26) .плотности вещества галактик, усредненного по
всему пространству:
8лр=1,7-10-21 (лет)-2 (р=10-30 г/см3), (183.1)
с выражениями (150.7), (150.8) и (150.10) для давления, полной плотности
материи и плотности вещества соответственно. Возьмем функцию g(t) в виде
степенного ряда (182.3). Тогда в
§ 183. СВЯЗЬ ПЛОТНОСТИ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВИЗНОЙ 487'
заданный момент /=0 будем иметь
8лр0 = - ~ - 4/ - 3Я2 -f А, (183.2)
Ro
8^Роо = туг + 3/т2 -л л6
и
8лри--^+ 12/ -)- 12Я2 - 4А,
где плотность вещества рт, так же как и в § 150, принята равной роо-3/?0-
Это приближение было бы полностью справедливо, если бы все давление в
модели можно было приписать исключительно одному излучению.
С первого взгляда не ясно, какую пользу можно извлечь из выражений
(183.2) - (183.4), поскольку слишком скудны имеющиеся в нашем
распоряжении данные относительно реального мира и, кроме того, в
написанные выражения входят сразу две неизвестные постоянные Ro и Л.
Однако если учесть, что давление в рассматриваемой модели не должно быть
отрицательным, а плотность вещества должна быть не меньше плотности
вещества галактик реальной Вселенной, усредненного по всему пространству,
то из выражений (183.2) - (183.4) можно извлечь полезные неравенства:
0 < - ~2- 4/ - ЗЯ2 + Л (183.5)
Ro
и
1,7-10-21 < 4- -г 12/ + 12Я2 - 4Л. (183.6)
Ro
Исключив из этих неравенств сначала Л, а затем Ro, подставив значение Н и
приняв во внимание найденные в предыдущем параграфе неравенства для /,
легко получим довольно надежно следующие нижние пределы:
