Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
г) Поведение вблизи предельного сжатия. Предыдущие рассуждения
показывают, что модель, начиная расширяться в некоторый начальный момент
с заданными значениями go и go, достигнет через конечное время максимума
и начнет сжиматься, причем сжатие будет происходить с достаточной
скоростью, чтобы g могло уменьшиться до минус бесконечности за конечное
время. Теперь мы должны выяснить, что же будет происходить ка нижнем
пределе сжатия.
Прежде всего, так как собственный объем любого элемента
3/""
жидкости в модели всегда пропорционален е , то уже из физических
соображений ясно, что наибольшее сжатие ограничено
снизу значениями^ = 0, g--оо. Далее, согласно (174.15), */• s
когда е достигнет нулевого значения, мы будем иметь
g= - оо (174.18)
и одновременно согласно (174.8)
§ 174. РАСШИРЕНИЯ И СЖАТИЯ В ЗАМКНУТОЙ МОДЕЛИ
453
Так что условия для аналитического минимума не удовлетворяются и теория
не может описать процесс перехода модели через эту точку.
Следовательно, поскольку из физических соображений сжатие не может
происходить дальше точки е1,6 = 0, то для того, чтобы фундаментальные
уравнения, определяющие эволюцию модели, оставались справедливыми,
необходимо заставить модель вновь расширяться от некоторого сингулярного
состояния наибольшего сжатия. При этом сингулярное состояние,
естественно, не обязательно должно наступать точно в точке е'гЁ = 0, оно
может наступить и в некоторой окрестности этой точки.
К сожалению, наши дифференциальные уравнения не в состоянии описать
механизм перехода через предельное сжатие, хотя из физических соображений
ясно, что какой-то механизм обязательно должен существовать. Как
предполагал Эйнштейн [105], возможно, что идеализации - например, такие,
как полная однородность модели,- на которых был основан весь анализ,
могут стать вблизи максимального сжатия незаконными. Ситуация здесь
подобна тому, как если бы мы пытались описывать поведение упругого мяча,
прыгающего по полу, с помощью только уравнения движения в гравитационном
поле:
¦Ж = ~8' (174'20)
Этого уравнения вполне достаточно, чтобы описать движение мяча до
наивысшей точки и его падение вниз, однако оно ничего не говорит нам о
механизме отскакивания, когда мячь достигает пола. Здесь уже необходимо
привлекать размеры и упругие свойства мяча, чтобы что-нибудь сказать о
переходе через наи-низшее состояние.
Таким образом, окончательный результат этого параграфа состоит в том, что
при А=0 возможное поведение закрытой однородной модели, заполненной
жидкостью, не способной противостоять растяжению, будет состоять в
периодических сжатиях и расширениях. При этом во время расширения от
сингулярного состояния, возникшего при предыдущем сжатии, до максимальных
размеров g(t) возрастает и затем возвращается вновь к сингулярному
состоянию, после чего расширение должно повториться. Далее, если в любой
заданный начальный момент времени величина g и скорость ее возрастания g
конечны, то конечным будет н максимальное значение gm, и время,
необходимое для полного завершения цикла сжатия и расширения. Наконец,
следует отметить, что эти выводы были получены без всяких ссылок на
обратимость или необратимость эволюции модели, поэтому они справедливы
как для последовательности тожде-
454
Гл. X. космология
ственных расширений и сжатий, соответствующих обратимой эволюции, так и
для последовательности меняющихся расширений и сжатий, отвечающих
необратимой эволюции.
Как уже указывалось в главе IX, непрерывная последовательность
необратимых расширений и сжатий для моделей, рассмотренных в предыдущем
параграфе, может показаться очень странной с точки зрения классической
термодинамики, которая утверждает, что изолированная система в результате
необратимых процессов должна прийти к окончательному состоянию покоя,
обладающему максимальной энтропией. Поэтому интересно посмотреть, что
нового в этом отношении может дать для наших исследований релятивистская
термодинамика [114].
Как следует из §169, где были рассмотрены условия обратимой и необратимой
эволюции однородных моделей, последовательность необратимых расширений и
сжатий сопровождается непрерывным ростом собственной энтропии каждого
выбранного элемента жидкости в модели, что видно из знака неравенства в
выражении
Таким образом, хотя модель во время расширения или сжатия может проходить
через состояния, в которых в некоторый момент выполняются условия,
соответствующие физико-химическому равновесию, тем не менее очевидно, что
энтропия каждого элемента жидкости в конечном счете должна возрастать
беспредельно, покуда происходят необратимые сжатия и расширения.
Возможность беспредельного роста энтропии требует еще своего обоснования,
поскольку в классической термодинамике мы привыкли к мысли о том, что
энтропия любой изолированной системы имеет конечную верхнюю границу.
Чтобы исследовать этот вопрос, мы можем, очевидно, принять. что
собственная энтропия любого малого элемента жидкости, измеряемая
