Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
доводов, выдвинутых в § 146 в пользу нестатических моделей.
§ 153. Движение частиц в модели
Теперь мы можем рассмотреть движение свободных частиц в пестатической
модели, интервал ds2 которой равен
g(t)
ds2 = --r-----nY{dr2+r2dQ2+r2sin2Qdip2)+dt2. (153.1)
+ r*!4RlY
*) Этот вывод следует изменить, если окажется, что излучение звезд,
согласно Бору, происходит благодаря нарушению внутренних законов
сохранения энергии.
Гипотеза Бора и Слэтера возникла в связи с казавшимся парадоксальным
явлением вынужденного излучения света. К ней возвращались и в связи с
ета-распадом. С открытием нейтрино основания для этой гипотезы отпали.
{Прим. ред.)
390
ГЛ. X. космология
Согласно принципам релятивистской механики движение свободных частиц в
модели определяется уравнениями геодезической
ж+г;>хт-0' <|5з-2>
А так как интервал (153.1) написан в стандартной форме, тс мы можем в эти
уравнения подставить символы Кристоффеля
F"VB их общем виде (98.5).
Сначала исследуем тот случай, когда частица покоится относительно
пространственных координат г, 0, ср. В этом случае
* = *Р=0 1 (153.3)
ds ds ds ds
и уравнения геодезической приводятся к виду
d3Xa I рО Л
-gjT + I44 -U,
а так как все величины Г44, как видно из выражения для интервала, равны
нулю, то это значит, что все компоненты ускорения также равны нулю:
d2r d39 d3q> d2t
ds2 ds* ds4 ds3
= 0, (153.1)
т. e. частица будет все время оставаться в покое относительнс
пространственных координат, и измеряемое локальным наблюдателем
приращение ds собственного времени будет в точности равно приращению
координатного времени dt.
Конечно, тот вывод, что частицы, вначале покоившиеся относительно
пространственных координат, не будут испытывать никакого гравитационного
ускорения, которое привело бы их в состояние движения, согласуется с тем
фактом, что мы выбрали сопутствующую систему отсчета, т. е. такую, в
которой вещество, заполняющее модель, остается все время в покое
относительнс г, 0, ср. Этот результат справедлив только для
гравитационного ускорения, но очевидно, что и другие виды ускорений,
происходящих от столкновений или от радиационного давления, должны в
среднем из-за однородности модели равняться нулю для частиц, покоящихся
относительно выбранных нами пространственных координат. Нельзя забывать,
однако, что, хотя частицы вещества в модели и остаются в покое
относительно пространственных координат г, 0, ф, все же собственное
расстояние между двумя такими частицами, измеряемое с помощью приложенной
к ним жесткой линейки, будет меняться со временем, если меняется со
временем g(t).
§ 153. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В МОДЕЛИ 391
Чтобы исследовать более общий случай, когда частицы обладают произвольной
начальной скоростью, проще всего воспользоваться уравнением геодезической
(153.2) для о=4:
-?-+г-^-^=о. <153-5)
Подставляя сюда величины Г^, из (98.5), с учетом формулы интервала
(153.1) получаем
<14 ds1
где
+ -те^ [чг! + ~т^г2("?)2+ ~т ev^'sin*6 (-$Т = °-
.8(0
е"
[l+r*l4R2]2 '
Из вид? самого интервала следует, что уравнение (153.5) можно переписать
следующим образом:
d*t ,J_dg_ Г dt2 _ .' ds* +2 dt [ds* У
0
или
dt d
ds dt \ ds J
dg
dt* ^ dt '
ds*
Это уравнение можно легко проинтегрировать. В результате получаем
1 =Ае~М, (153.6)
где Л - постоянная интегрирования.
Для интерпретации этого результата мы можем снова вернуться к интервалу
(153.1), из которого следует, что
.*!_ = j_________gW) (All- . г* . r2 sin2 о dq>*
dt* J [l+,"/4R§]2 \dl* +r dt* +Г Sln 0 ~Ш
г. e. движение частицы происходит по закону
-?"=1------------------------------(153.7)
где"с - скорость света, а и - скорость частицы, которую локальный
наблюдатель в ее окрестности, неподвижный относительно В 9. Ф, может
измерить в окрестности частицы обычным обра-
392
ГЛ. X. космология
зом, используя свои приращения собственного времени и собственного
расстояния:
1и т
dt9 = dt, dl0 - и т.д. (153.8)
Подставляя (153.7) в (153.6), получаем
ГР^^Ле-т. (,53.9)
Именно так будет зависеть от времени скорость свободно движущейся
частицы, с точки зрения локальных наблюдателей, расположенных вдоль ее
траектории неподвижно относительно ус-редненнего движения вещества в их
окрестности.
Из (153.9) вытекает, что если g(t) возрастает со временем и, значит,
собственные объемы элементов жидкости расширяются, то скорости свободных
частиц будут со временем уменьшаться, и, наоборот, если модель сжимается,
то скорости возрастают. Если применить этот результат к частицам, которые
являются составными частями самой жидкости, и связать случайные скорости,
которые могут иметь эти частицы, с их вкладом в полную плотность энергии
и полное давление этой жидкости, то легко показать, что зависимость
скорости (153.9) от времени находится в полнейшем согласии с определенной
с помощью уравнения (151.6) связью между плотностью энергии и давлением.
С учетом (153.9) мы можем также определить и зависимость от времени
энергии свободных частиц. Это представляет интерес в связи с космическими
