Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
механика, связывающая геометрические и гравитационные свойства тензора
g^v, приводит к совершенно определенным выводам относительно свойств
космологических моделей, равномерно заполненных по всему объему
расширяющейся или сжимающейся жидкостью. Эти модели, если считать, что
они заполнены достаточно простой жидкостью, например идеальным
одноатомным газом, позволяют проиллюстрировать новую релятивистскую
возможность-обратимость процесса, протекающего с конечной скоростью.
Чтобы пояснить суть этой новой возможности, приведем, забегая вперед,
результаты следующей главы: выпишем выражение для интервала в случае
нестатической однородной модели Вселенной в виде
ds*= -r f ^(dr2 + rad02 + r2sm20*pa) +dt\ (130.2)
[l + (г>/4/?2)]2
где r, 0, ф - пространственные координаты, t - времениподобная
координата, Ro - постоянная, а зависимость интервала от времени
определяется видом функции g{t), стоящей в показателе экспоненты. Можно
показать, что эта форма интервала соответствует космологической модели,
весь пространственный объем которой заполнен однородным распределением
жидкости. Используемые здесь координаты выбраны из множества
сопутствующих систем. Напомним, что по определению, данному в § 122,
сопутствующие системы координат обладают следующими свойствами. Элемент
жидкости, занимающий в такой системе координатную область бг б0бф,
остается в этом элементе постоянно. Собственный объем элемента жидкости,
равный
§ 130. ОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМИ СКОРОСТЯМИ
329
будет при этом, вообще говоря, меняться со временем из-за зависимости от
g{t). Если g растет со временем, все элементы жидкости будут расширяться
с относительной скоростью, одинаковой во всех частях модели; если g со
временем уменьшается, будет происходить сжатие. При этом, вообще говоря,
эти изменения могут происходить с конечной скоростью.
Попытаемся теперь выяснить, могут ли такие расширения и сжатия
совершаться и обратимо, и с конечной скоростью. На рис. 5 символиче-ки
изображено двумерное представление пространственноподобных координат,
соответствующих интервалу (130.2). Оно поможет нам установить различие
между свойствами процесса расширения газа в настоящей модели и в
рассмотренном ранее классическом цилиндре.
Применяя к модели релятивистский первый закон термодинамики, Рис. 5.
т. е. законы релятивистской механики, легко найти (§ 151), что
энергетический баланс каждого элемента жидкости описывается знакомым
уравнением для адиабатического расширения:
-|-(Рообуо) + Ро~гг (буо) = 0; (130.4)
изменение собственной энергии каждого элемента жидкости происходит за
счет работы, совершаемой этим элементом над окружающей средой.
Следовательно, каждый элемент рассматриваемой нами жидкости должен
расширяться или сжиматься адиабатически, без теплопередачи между
отдельными частями модели, что на самом деле ясно интуитивно, если
вспомнить об однородности условий во всех частях модели.
Убедившись в адиабатическом характере рассматриваемого процесса, применим
к данной системе релятивистский второй закон термодинамики (119.5),
приравняв правую часть уравнения, пропорциональную поглощаемой теплоте,
нулю. В результат те получим, что для нашей модели в используемых
сопутствующих координатах второй закон термодинамики описывается
следующей простой формулой:
330
ГЛ. IX. релятивистская термодинамика
или, привлекая (130.3), перепишем ее в виде
-J-( Ф06"о)>0. (130.5)
Итак, применение релятивистского второго закона термодинамики к такого
рода космологическим моделям показывает, чтс собственная энтропия каждого
элемента жидкости, измеряема? локальным наблюдателем, может либо
увеличиваться, либо ос таваться постоянной. Поскольку знак равенства
отвечает случак обратимых процессов, постоянство собственной энтропии
каждого элемента жидкости становится необходимым требованием для
обратимости процесса расширения в этих моделях, когда он про текает с
конечной скоростью.
Это требование, по-видимому, выполняется, если жидкость заполняющая
модель, имеет достаточно простое внутреннее строение.
Чтобы в этом убедиться, укажем прежде всего на то, что свойства модели
должны быть таковы, чтобы исключить возможность возрастания энтропии,
которое может происходить из-за недостаточно эффективного взаимодействия
между элементами жидкости и их окружением. Энтропия рассматриваемой
модели не будет возрастать, так как в модели отсутствуют тепловые потоки,
которые могли бы приводить к необратимому теплообмену; нет трения поршня
о стенки и тому подобных явлений, поскольку в данной модели вообще нет
никаких резервуаров и движущихся частей; не возникает возрастания
энтропии из-за перепада давления на границе расширяющегося элемента, так
как по предположению давление однородно по всему объему модели. Итак,
оказывается, что в такой системе нет необратимости, которая была бы
следствием плохой связи какого либо ее элемента с окружающей средой.
Остается только возможность увеличения энтропии вследствие того, что
