Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
Другое, более фундаментальное обобщение теории Калуцы заключается в отказе от условия цилиндричности (9). Уже в первых своих работах 1926 г. Клейн рассмотрел периодическую зависимость всех переменных поля от X5. Если выбрать в качестве периода 2л, ТО ЭТО предположение і («?С0 компоненты Tf55 являются ?0*
300 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
периодическими функциями Xs с периодом 2л») можно также выразить е помощью разложения Фурье
Геометрически Xs можно интерпретировать как угловую переменную, так что все значения хь. различающиеся па целое кратное 2л, соответствуют одной и той же точке пятимерного пространства, если значения Xі одни и те же. Из одного этого предположения еще не следует существование замкнутых геодезических линий без разрывов в их направлении. Эйпштейн и Бергман [445] (см. также [446] и цитируемую выше монографию Бергмана) исследовали, в частности, следствия дополнительного предположения И: через каждую точку иятимераых пространств проходит только одна геодезическая липия, которая возвращается в эту же точку, непрерывно меняя направление. Они показали, что в этом случае всегда существует избранная система координат, где
Группа преобразований остается той же, что и в первоначальной теории Калуцы (см. (15) и (16)), но gih могут теперь зависеть периодически от я5.
Авторы затем строят наиболее общий инвариант относительно рассматриваемой группы преобразований, отвечающий тем же общим требованиям к порядку дифференцирования, что и в обычной теории относительности (а именно, линейности по вторым производным поля и отсутствию высших производных). Соответствующие уравнения поля являются, вообще говоря, интегро-днфферен-циальпыми.
При всех этих предположениях не удается прийти к интерпретации или оправданию выбора P в качестве скаляра в принципе наименьшего действия, однако ситуация существенно меняется, если отбросить предположение II, сохранив предположение I. Группа преобразований тогда будет иметь вид
где ру — произвольные периодические функции Xs с периодом 2я. Эта общая группа ташке рассматривалась Клейном, но ее математические и физические следствия нуждаются в дальнейшем изучении.
Справедливо, что единственным скаляром, который можно составить из Yliv при помощи только обычного процесса дифференцирования (с ограничениями на порядок дифференцирования, налагаемыми обыкновенно в общей теории относительности), является теперь скаляр Р, отвечающий пятимерной метрике. Однако все еще остается нерешенным вопрос о том, существуют ли какие-нибудь другие нелокальные инварианты, которые можно было бы
(27)
при обычном условии действительности:
(27а)
•yes == I; Obtidx5 *= 0-
(28)
z's «= X1 + р6(г5, х*); х'*е=р,{х6, **),
(29)
ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 301
выразить как интегралы по должным образом выбранным замкнутым кривым и использовать в принципе наименьшего действия*).
Помимо математических трудностей, остается еще проблема физической интерпретации общих функций, периодически завися-сящих от хь, заданных соотношениями (27). Эта проблема ведет к волновой механике и поэтому также к проблеме квантования поля **). Тензоры, подобные ТцПу(^*)і соответствуют спину, равному 2, который, кстати, никогда не встречался в природе и из которого никаким сложением нельзя получить спин, равный 1/2.
С нашей точки зрения (см. вводную часть к этому примечанию), ясно, что, помимо поля я‘), должны существовать
другие поля квантовомеханического типа такие, например, как спинорные поля, описывающие частицы с малой массой [438].
Таким образом, вопрос о том, имеет ли формализм Калуцы какое-либо будущее в физике, ведет к более общей главной нерешенной проблеме синтеза общей теории относительности и квантовой механики.
*) Бергман любезно обратил мое внимание на следующую проблему: существует ли всегда в пятимерном многообразии с топологией цилиндра, бесконечно протяжепного в пространстве х1, ,,.Xі, и с метрикой, удовлетворяющей предположению I, избранная система координат, в которой dj^/dx5 = 0 при Ц = 1, .,5,
**) Cm. примеч. 2 на с, 296.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
І. Фундаментальные статьи
Mach Е. Die Mechanik in ihrer Entwicklung historisch-kritisch dar-gestellt.— Leipzig, 1883.
Riemann B. Uber die IIypothesen, die der Geometrie zugrunde lie-gen.— Berlin, 1920 (Nach. Ges. Wiss. Gottinge.— 1868.— Bd 13,—
S. 133)
Lorentz И., Einstein A., Minkowski H. Das Relativitatsprinzip.—Leipzig, 1913; 3rd revised edn., 1920.
Minkowski H. Zwei Abhandlungen iiber die Grundgleichungen der Elektrodynamik.— Leipzig, 1910 (Nachr. Ges. Wiss. Gottingen.-— 1908 - S. 53; Math. Ann.- 1910.- V. 68 — P. 526).
Einstein A., Grossmann M. Entwurf einer verallgemeinerten Relativitatstheorie und einer Theorie der Gravitation.— Leipzig, 1913 (Z. Math. Pliys.- 1914.- Bd 63 - S. 215).
Einstein A. Die Grundlagen der allgemeinen Relativitatstheorie.— Leipzig, 1916 (Ann. Phys., Lpz.-1916,—Bd 49,—S. 769).
I*. Эйнштейн А. Собрание научных трудов.— М.: Наука, 1965.—-Т. 1; 1966 - Т. 2, 3; 1967 - Т. 4.
