Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
В качестве второго постулата Эйнштейн и Кауфман вводят транспозиционную инвариантность. Это означает, что все уравнения остаются в силе, если все величины Aut заменять транспони-
удовлетворяет этому требованию. К требуемой инвариантности, однако, можно прийти, если ввести новые величины, определенные следующим образом;
и является теперь транспозиционно-инвариантным. Для Uik %- преобразование записывается в виде
приведен в работе [437]. Уравнения поля получаются путем вариации интеграла действия по g,k и по U1ih как по независимым переменным.
Вместо gtk можно использовать также тензорную плотность с компонентами g(\ которые в четырехмерном пространственно-временном континууме определены соотношениями
В соответствии с духом обычной общей теории относительности выбор скалярной плотности й в интеграле действия ограничен требованиями, чтобы й не содержало производных от gik, а содержало только первые производные от U1ih и зависело линейно от последних*). Эти требования вместе с требованиями А,-инвариант-ности и транспозиционной инвариантности, упомянутыми выше, приводят к выражению для й, линейному по /?<*, выраженному через U1ik. Если космологический член, не зависящий от Rik, опущен, то при должном выборе поля ga мы приходим к выражению Эйнштейна для скалярной плотности в подынтегральном выражении интеграла действия
удовлетворяющему всем перечисленным постулатам (величины g‘* определены соотношениями (6)).
рованными Ajk = Akl. Тензор Ra, определенный через Tjft, не
(4)
(5)
Закон преобразования U1ih при координатных преобразованиях
8'
,Ik =-
(6)
6 =
(7)
*) При обсуждении вида скалярной плотности в чисто аффинных теориях (см. примеч. 7) мы це использдвали этого ограничения,
296 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Вывод уравнений поля и тождественных соотношений между ними можно найти в цитированной выше литературе. В частном случае, когда антисимметричные части и T1lk обращаются в нуль, мы приходим снова к обычным уравнениям поля общей теории относительности в отсутствие вещества.
Довольно сомнительно, что уравнения поля этой теории, основанные на формальных постулатах ^.-инвариантности в транспозитивной инвариантности, лишенных непосредственного физического или геометрического смысла, имеют вообще какое бы то ни было отношение к физике.
В этой «единой теории поля» полностью отсутствует какой-либо ведущий физический принцип, подобный принципу эквивалентности в общей теории относительности, который был бы основан на данных опыта. Более того, в обычной общей теории относительности непосредственный физический смысл имеет элемент длины и вместе с ним квадратичная форма gikdxidx\ а не псевдотензор T1ik, который управляет параллельным смещением векторов.
Далее мы рассмотрим другие попытки создания «единой теории поля», в которых используются лишь неприводимые величины.
Ь. Пяти мерные и проективные теории*). Калу-ца [437] нашел интересное геометрическое представление в кова-риантном виде уравнений электродинамики Максвелла, которое впоследствии было улучшено и обобщено Клейном **).
Рассматривается пространство с цилиндрической метрикой
ds2 = 1Y !Hvdx^dxv (8)
(в дальнейшем греческие индексы ц, V, пробегают значения от 1 до 5, а латинские индексы і, к, ... — от 1 до 4). Условие цилинд-ричности лучше всего записать в специально выбранной системе координат***), в которой iYnv не зависят от г5;
SW3*5 = 0. (9)
Кроме того, Калуца и Клейн предполагали, что
Ї55 = 1. (Ю)
Положительный знак 755 означает, что пятое измерение метрически пространственноподобно. Причина такого выбора будет ясна позже. Помимо координатных преобразований общей теории относительности, для координат хА в избранных системах координах допустима группа преобразовапий
г'* = *5 + /(Ж\ z*). (11)
Если записать выражение (8) в виде
ds2 ¦= (dxb + "Iadxi)2 + gihdxidxk, (12)
то нетрудно убедиться, что go, инвариантны относительно преоб-
*) Обзор этих теорий читатель найдет в книге Бергмана, гл. XVII и XVIII.
**) В первых двух из работ Клейна [438] уже принята во внимание периодическая зависимость метрики от пятой координаты.
***) Формулировка для общей системы координат содержится B цитированной книге Бергмана (New York, p. 227),
ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 297 разосавий (II)
SihtaZw (13)
тогда кан
Tl* = Vi5 - V/te*. (14)
Сравнение (8) в (12) позволяет получить
Ti* => ga + TisYm- (15)
Если gl\ как обычно,-* обратная матрица К gtk, a Yliv — обратная матрица к Yuvi то легко получить
det Ivl *= det J 15
Vw = I + VuYi5Tft5: Vt6 = -SriftTft; Vlh = Hik- (16)
Вид преобразований (14), аналогичных градиентным преобразованиям, наводит на мысль об отождествлении Yjs с электромагнитным потенциалом ф< с точностью до некоторого множителя, Антисимметричный тензор
" dxk - (17)
инвариантный относительно «градиептпых преобразований» (14), пропорционален тогда напряженностям алектромагнитного поля. К определению коэффициента пропорциональности мы вернемся позже.
