Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
(7а)
(361)
(346а)
*) М. РІацск [209]. Cm. также работу [240], автор которой не-вависимо от Планка пришел другим методом к тем нїє результатам^
5 46. ПОВЕДШИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ^
боту внешних сил, то dQ *= dE — dA\
(365)
dA-----pdV + (KdG).
Второй член здесь существен, так как, согласно (346), он не исчезает даже в том случае, если при изменении состояния системы ее скорость остается постоянной; последнее ниже предполагается. Мы получаем *>'- +
- 4 TT= № + d (P0V0)] + V I=Wp0 dV0 = с у I-P2
= Kr=rF (dE„ + P0 dv(i) - vr=? d06
и, следовательно,
Є = <?0У1 - рг. (366)
Это выражение совпадает с выведенным ранее преобразованием для джоулева тепла (см. (293)),
Сообщение какой-либо системе скорости и может рассматриваться как адиабатический процесс. Поэтому энтг ропия остается неизменной, т. е. она одинакова для движущейся и покоящейся систем. Это означает, что энтропия инвариантна относительно преобразования Лоренца:
S = S0. (367)
Если количество теплоты dQ введено бесконечно медленно, то
dQ = T dS.
Из (366) и (367) отсюда сразу находим:
T = T0Il-V2. (3681
Полученные формулы позволяют сопоставить каждому соотношению между характеризующима состояние системы величинами р0, Fo1 E0, Go и T0 в покоящейся системе соответствующее соотношение между этими величинами в движущейся системе. В частности, может быть определена зависимость уравнения состояния вещества от его скорости.
184
ГЛ. III, СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 47. Принцип наименьшего действия
В старой термодинамике уравнение состояния может быть определено с помощью вариационного принципа [242]
*2
|{б(-^ +?„„„) +6Л} Л = O1 Ч
где F — свободная энергия:
F = E-TS.
Независимыми переменными являются пространственные координаты системы, объем и температура; 6Л есть работа, совершаемая при варьировании этих параметров. При изменении независимых переменных варьируемая функция изменяется известным образом. Функция действия
L = -F + Evn
распадается здесь на две части, одна из которых зависит только от скорости, а другая — от внутренних параметров тела V и Г. В релятивистской механике подобная функция действия также существует, однако она уже не может быть разложена указанным образом на две части. Действительно, для:
L =-E+ TS + (uG) (369)
имеем
d 8L d
Tt
дЬ_ _ SL__
QV ~Р' дТ ~
Из соотношения
dE = (К Л) - р dV + T dS = (u dG) - р dV + T dS
следует, что
dL=(Gdu) + pdV + SdT.
Формулы (370) представляют собой как раз уравнения, вытекающие из вариационного принципа. Заметим еще,
что согласно (318а, Ь) и (325) для материальной точки
(370)
L = -Eiiau + (uG),
S 48. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА И СТАТИСТИКА
185
что может рассматриваться как частный случай выражения (369). В сопутствующей системе Ко L идентично взятой со знаком минус свободной энергии Lo «=* — Eo + + ToSo- Согласно (346), (367), (368) для L имеет место следующая формула преобразования:
Отсюда вытекает, что интеграл действия J Ldt является инвариантом, как это и должно быть.
§ 48. Применение релятивистской механики к статистике
В пространстве канонических переменных ph, qh (см. § 40) справедлива теорема Лиувилля:
так как опа является непосредственным следствием уравнений Гамильтона. Теорема справедлива, естественно, и в пространстве других переменных Xu .. ., Х2\у которые получаем из канонических путем преобразования с функциональным определителем, равным единице, т. е.
В общих теоремах статистики не используются другие предположения, кроме теоремы Лиувилля; очевидно, они остаются справедливыми и в статистике, основанной на релятивистской механике*). Сформулируем эти теоремы так:
1. ПуСТЬ ПнерГИЯ KaK фуНКЦИЯ ПереМСПНЫХ Х\, . . Х2н, удовлетворяющих условию (372а), что и предполагается везде в дальнейшем, задана выражением
где V — объем, ограниченный поверхностью H = E, или объем слоя между поверхностями E<H<E + dE:
(371)
dpi • • • dgK = dp® .,. dq%,
(372)
dxx ... dx%x = dx\, .. dxlx.
(372a)
H(xI, . . ., Xln) = E.
Энтропия тогда выражается в еітдє S = ft Ig V,
(373)
(374)
(375)
Н<Е
*) Мы отвлекаемся от пзмепепиіі статистических теорем, связанных с квантовой теорией.
186 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ИЛИ
F = J (Ix1 ... dxiN,
E<H<E+dE
2. Свободная энергия F = E-TS задается выражениями
F = -kT IgZ1 (376)
_н_
Z=Je hT (Ix1 ... <1хгх.
3. Закон равномерного распределения: средние по
времени от величии ХідНІдХі равны
XidHjdXi = кТ для всех і от I, .. 2iV\
XidH/дх, = 0 для і Ф /, (377)
В частности, для канонических переменных
Mi = кТ, q.dlljdq, = кТ. (377а)
Здесь имеется некоторое отличие от обычной механики.
В последней EKm = V2 S PicIv так чт0 nePRoe из уравнений (377а) означает нросто, что средние по времени от частей кинетической энергии, соответствующих одной степени свободы, все равны между собой и при этом равны 1І2кТ. В релятивистской механике связь между законом равномерного распределения и средней кинетической энергией теряется.
