Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
s2 _ r2 = _ Ж2( (27.12.(J)
откуда, учитывая (27.12.5), находим
72 = 2j,„. (27.12.7)
Таким образом,
Ih —2/o=s — 2j/o = s— Vs2— г2 =
= 4- (У» + г- У«-г)2 = 1 (X-u.)2, (27.12.8)
2 v к- - і ¦ V ¦/—2 х" г' ' ч"' Рис.112,
где "j/s+r обозначено через A,, a "jA— г— через |я. Далее, из уравнения
УІ—х\ = УІ—Ьу<і{Уі—Уа,
находим
Уі—х\ = УІ—Ьу0 (уі — JZ0) = (JZ1 — 2(/(,)2
~\/уІ — х\ = 2у0—у1 на дуге AB, Уг/f — х\ = У1 — 2у0 на дуге ВС. Следовательно, вдоль дуги AB
(27.12.9)
(27.12.10) (27.12.11)
2 toi-ю>) = Wi - У/!-«f = у (У»і- У»і -si)2 =4 -1D2. (27-12-12)
а вдоль дуги ВС
2 (у і - i/o) = у у + Vvl-il = у (У/1+ *! + У ^i1)2 = у (? + T])2- (27.12.13)
Теперь легко составить уравнение огибающей. Рассмотрим каждый случай в отдельности. Для дуги AB имеем
1 1
уї — Уо=y(Х — ^)2=X (s - 1D2 •
A2+Xfi.+ц2=2« + У«2-^ = 2JZ1 + 4i/o, S2+511 + 112=?! + Уг/Ь1^=^ + 2JZoJ и, следовательно,
1
(27.12.14)
V= (>ь (Хї + Х|1 + J1S) = (g _ л) 2 (?2 +1 л + 1Г2) = у2 (ge _,,•). (27.12.15)
Т/2
Окончательно получаем
Аналогично, для дуги ВС
ЗА
.= -У2 (^3-,)3).
Уя
(27.12.16)
(27.12.17)
Уі~.Уо=у (^-W2 = -4-(6 + 4)2,
А,2+ Xu. + и2 = 2г/! + 4г/0, б'2— |т) + T)2 = 2^1 — У — zf = Уі + 2у0 п, следовательно,
W - |i» = (X-ц) (X2+Xf4 + u2) = L= (I + т)) 2 (б2- ?т) + ті2) = У2 (63+ т)3). (27.12.1 В окончательном виде будем иметь
ЗА:
Vs
= У2 (Is+ті3).
(27.12.19)
Формулы (27.12.16) и (27.12.19) эквивалентны уравнениям (27.11.7) при A- = A-, что мы и хотели доказать.
36 JI. Л. Парс
Глава XXVIII ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
§ 28.1. Задача трех тел. Задача трех тел принадлежит к числу наиболее известных проблем классической динамики. В ней рассматривается движение трех частиц в пространстве под действием сил взаимного притяжения и требуется определить их положения в любой момент времени, если в момент t = 0 заданы их координаты и скорости. Изучение этой задачи оказало огромное влияние на развитие всей динамики. Многие из наиболее важных результатов этой науки в большей или меньшей степени связаны с задачей трех тел.
Решение задачи двух тел, кратко изложенное в § 5.4 и далее, представляет одно из самых больших достижений ньютоновой механики. В указанном выше смысле эту задачу можно считать полностью решенной, т. е. мы можем определить положения частиц в любой момент времени, если известны координаты этих частиц и их скорости в момент t = 0. Что же касается задачи трех тел, то ее нельзя считать решенной в этом смысле. Однако для многих частных случаев этой задачи, возникающих в астрономии, удается построить приближенное решение с весьма высокой степенью точности. Небесные тела приближенно можно считать имеющими сферическую форму со сферически симметричным распределением массы; взаимное притяжение таких тел таково же, как у частиц, расположенных в их центрах. Если в качестве трех тел рассматриваются Солнце и две планеты, то основным упрощающим условием является то, что массы Tn1 и т2 планет малы по сравнению с массой M Солнца, так что членами третьего порядка относительно TtIiIM и Tn2IM обычно можно пренебречь. (Например, масса Земли составляет менее чем 1/300 ООО массы Солнца.) Если же рассматривается движение Солнца (M), планеты (тп) и ее спутника (ц.), то отношения mlM и ц./М всегда малы и, кроме того, u./m мало, хотя порядок малости последнего отношения и отличается от порядка малости m/M. (Например, масса Луны составляет около 1/80 массы Земли.) Другое обстоятельство, облегчающее построение приближенных решений, заключается в том, что эксцентриситет планетных орбит, как правило, весьма мал (для орбиты Земли он составляет приблизительно 1/60).
В предыдущих главах мы пробовали применить два подхода к решению задачи трех тел. В § 17.10 рассматривалось движение планеты в поле двух притягивающих центров. Если считать, что это движение происходит в неподвижной плоскости, проходящей через притягивающие центры, то можно, как мы видели, дать исчерпывающую классификацию траекторий. Более того, можно найти уравнения траекторий, выразив их через эллиптические функции. Трудности, с которыми мы сталкиваемся в этой сравнительно простой задаче, дают представление о сложности проблемы в общем случае. В § 25.3 мы рассматривали вариации эллиптических элементов. При этом сначала изучалось движение одной планеты относительно Солнца, а затем рассматривались те возмущения, которые обусловлены наличием второй планеты. Второй этап в этих рассуждениях не носил характера самостоятельной задачи: возмущенное движение рассматривалось как непрерывное видоизменение исходного эллиптического движения. Этот метод эффективен, поскольку массы планет весьма малы по сравнению с массой Солнца.
§ 28.2]
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
563
§ 28.2. Ограниченная задача. Уравнения движения. Органиченная задача трех тел заключается в следующем. Частица А массы а и частица В массы ? движутся под действием сил взаимного притяжения. Центр масс G обеих частиц движется равномерно и прямолинейно, так что без потери общности можно считать, что он находится в покое. Начальные условия таковы, что орбита частицы В относительно А представляет собой окружность с центром в А, следовательно, каждая частица движется относительно центра масс G по окружности. Рассмотрим частицу P пренебрежимо малой массы (так называемый планетоид); пусть эта частица совершает движение в одной плоскости с А и В. Мы будем считать, что она движется под действием Рис. 113.