Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
g204 _ AgsQ2 + 4r2 = 0, (27.10.7)
где
г2 = (X1 - X0)2 + (У1 - i/o)2- (27.10.8)
На рис. 109 парабола s = г представляет огибающую G; вещественным положительным значениям 6 соответствует условие s^r. Действительно,, разрешая уравнение (27.10.7) относительно 9, получаем
gQ2 = 2s ± 2 1/12W2 = (Vs+7± ]/'Гг)2, (27.10.9)
x-x0 = ut, y-yQ = vt + J-gt2. (27.10.1) е е
= ^2T dt = ^(u2+v2+2vgt+g2t2)dt (27.10.2) о о
К = (и2 + V2) 0 + vgQ2 + -J- g2Q3, (27.10.3)
§ 27.11]
ЗАДАЧА ТЭТА. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ РЕШЕНИЕ
559-
откуда при s>r находим два значения 6:
VgQi = Vs+r + Vs-r.. при этом gQ1Q2 = 2r. Таким образом,
s — r, Ї s—r, J
(27.10.10)
K = EQs-J g2Q* = gQs-J (AgsQ2 - 4r*) = | gsB + w (27.10.11 >
и, следовательно,
Ш: = s{VgQ) + r (-? = s{Vs~+~r ±УЇ=-Г) + r (VsTr + Vs~=~r) =
(27.10.12)
= (s + rf*±(s-rf\
Двузначный ответ не является неожиданным (см. § 27.6). Если, например, положить (хи уі) = (xQ, уо), так что s = 2у0, г = 0, то одно из значений
К обратится в нуль, а другое будет равно -^У^ёУУ2- Первому из этих значе-
ний отвечает отсутствие движения, а второму при котором частица в начальный момент движется навстречу полю.
прямолинейное движение,
Рис. 109.
Рис. 110.
Поверхностями равного действия относительно точки P0 будут кривые, определяемые уравнениями
(s + г)3'2 ±(s — rfl2 = const. (27.10.13)
Согласно первой части теоремы Кельвина эти кривые ортогональны семейству траекторий (рис. 110). Нижний знак при этом соответствует точке пересечения с траекторией до момента соприкосновения ее с огибающей, а верхний знак — точке пересечения после соприкосновения с огибающей. Кривые равного действия имеют точки заострения, расположенные на огибающей параболе.
§ 27.11. Задача Тэта. Непосредственное решение. Рассмотрим теперь пример, иллюстрирующий вторую часть теоремы Кельвина (§ 27.9). (Поскольку мы будем решать плоскую задачу, роль поверхностей равного действия будут играть кривые.) Рассмотрим снова задачу о движении частицы в однородном поле, и пусть начальной кривой будет прямая, параллельная направлению поля.
Направим ось Oy вдоль поля и будем считать прямую у = 0 линией нулевой энергии, а прямую x = 0 — линией, с которой частица начинает движение.
Определим траектории частиц, начинающих свое движение из точек (0, у0) со скоростью (и, 0), где и2 = 2gy0. Вычисления аналогичны тем, которые мы проводили в предыдущем параграфе. Имеем
X= ut, у= Уо + JgP (27.11.1)
560
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
[Гл. XXVII
ч
= \ (и*+gW) dt = 11*0+ +
(27.11.2)
причем, как и ранее, мы положили здесь = 0, = 6. Уравнение для Э имеет вид
Следовательно,
Отсюда находим 6:
--2gy0q*=2gW {уі-~ «Єа)
g204-2CTl62 + x2 = 0.
y2ge = g±r,,
V2g0
2х<
(27.11.3) (27.11.4) (27.11.5)
(27.11.6)
где ради краткости ~\/уі + хі обозначено через |, а ~\/уі — хі— через т). Выражение для A имеет вид
?)=*ї +-Jетів = 4 V4 {*і (Б + л) + уі (Б ± ч)} =
У^ {у (Б2-ті2) (Б + Л)+у G2 + *!2) (І ± т,) J. =1 "1/? (?з ± t1s). (27.11.7)
ЗО
1 /— "З
Поверхности (в данном случае кривые) равного действия (рис. 111) описываются
уравнением
+ Xi)3/2 ± (г/1 — X1)3/2 = const. (27.11.8)
Траекториями частиц являются параболы
xl = 4г/0 (Уі - г/о), (27.11.9)
что можно записать также в форме
І ± ті = 2-VV0- (27.11.10) Параболы (27.11.9) касаются линий г/і = ±хи а кривые равного действия (27.11.8) имеют точки заострения, расположенные на этих линиях.,
§ 27.12. Задача Тэта. Теория оги-Рис. 111. бающих. Интересно получить решение
задачи Тэта с помощью теории огибающих. Как мы уже видели, поверхность равного действия tk, порождаемая поверхностью Г0, служит огибающей поверхностей равного действия относительно отдельных точек Г0 (§ 27.9). Здесь, однако, имеется некоторая тонкость. Поскольку в точке (0, у0) траектории направлены горизонтально, допускается лишь меньшее из двух возможных значений времени достижения точек (X1, Уі), и, как ив § 27.10, мы можем написать
где теперь
У^9 = у,+г-У^7,
JJU(s + r)3/2_(s_r
Ve
,3/2
S = Vi. +У о, ^ = Xf + (JZ1- y0f,
(27.12.1) (27.12.2)
(28.12.3)
а к представляет приращение функции действия при переходе вдоль траектории из точки (0, г/0) в точку (хь г/4). Для нахождения огибающей нужно исключить jzo из уравнения (27.12.2) и уравнения
j- {(s + r)3/2_(s_r)3/2} =0- (27.12.4)
оуо
Легко убедиться непосредственной проверкой, что последнее уравнение эквивалентно
S 27.12]
ЗАДАЧА ТЭТА. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ
561
уравнению траектории; поэтому его можно заменить более простым:
*1 = 42/0 (уі - г/о). (27.12.5)
Как уже отмечалось, огибающей этого семейства парабол служит пара прямых у\ = х\; точка касания определяется формулой !Z1 = Zy0.
На дуге AB (рис. 112) имеем у0 < yt < 2у0, а на дуге г
ВС 2у0 < JZ1.
Теперь нужно исключить у0 из уравнений (27.12.2) и (27.12.5). Проделав это. будем иметь
