Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
где
Єі = І+І8' Є2 = Т~"Т'6' ез=~?' (17.8.22) 1 1
так что е4 > — > е2 > —— . Для траектории типа розетки
у = Sy (8 — со2), (17.8.23)
так что V достигает максимального значения ег при Є = сої. Уравнение траектории записывается в форме
'2 = ^р- {*> (6-со2)+4} . (17.8.24) Для незамкнутой траектории
V = (Є — сої) (17.8.25)
и у достигает минимального значения еу при 6 = О и стремится к бесконечности при 6 —»- сої. Уравнение траектории имеет вид
7-2
OCl
§r{*(e-mi>+-§-}' (17.8.26)
Возвращаясь к систематической классификации траекторий, рассмотрим точки h, а, лежащие на границе 23 рис. 51.
23. ? = 1/4; дифференциальное уравнение траектории может быть записано в форме
(wY-WF-W- (17.8.27)
§ 17.9]
НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИТЯЖЕНИЕ И ОДНОРОДНОЕ ПОЛЕ
317
Возможны три случая:
1) Если в начальный момент г = г4, то траектория представляет собой
ОКруЯШОСТЬ Г = Г(.
2) Если в начальный момент г < гх и г возрастает вместе с 0, то
гіІІг=гі-г2' <17-8-28)
где ф = 0//2. Траекторией является спираль
г = Гі th ф = n th (0//2), (17.8.29)
наворачивающаяся изнутри на окружность г = г4.
3) Если в начальный момент г > г4 и г убывает с ростом 0, то
^=-(7"2-^ <17-8-30)
и траектория представляет собой.спираль
г = г4 cth ф = гі cth (0//2),
наворачивающуюся снаружи на окружность г = г4.
Читатель, желающий продолжить исследование, может самостоятельно составить уравнения траекторий, соответствующих значениям h, а, лежащим в областях 1 и 3 рис. 51.
§ 17.9. Ньютоновское притяжение и однородное поле. Пусть частица движется в плоскости ху под действием двух полей: поля сил притяжения пці/г2 к началу координат и однородного поля {—mg, 0). Потенциал такого поля (на единицу массы) равен
— + gx. Введем параболические координаты и, v.
u=-j(r+z), v = ±(r~x). (17.9.1)
Кривая и = с представляет собой параболу с фокусом в точке О и вершиной в точке (с, 0), а кривая V = с — параболу с фокусом в точке О и вершиной в точке (—с, 0). Два эти семейства парабол образуют семейства ортогональных кривых. Области изменения переменных и и V следующие: 0^м<оо, 0 v <. оо. Напишем обратные формулы:
х=и — V, у2 = iuv, г = и + v. (17.9.2)
Опуская положительный множитель т, можем теперь написать
^=1^+^)=4-^-^+^^+^=4^+^(^-+-?)' (17-9-3)
V=-± + gx=-~^+g(u-v)=-±—{gu*-g(vZ + bZ)}, (17.9.4)
/ Г U —J— V U —(— и
где б2 = \ilg. (Точкой равновесия в заданном силовом поле будет точка х — -6. у — 0.) Таким образом,
Мы видим, что функция H имеет форму (17.2.12), причем
Х = Р=и, I = gu2; Y=Q=v, T) = — g (v2 + Ъ2). (17.9.6)
Следовательно, при выбранных координатах система удовлетворяет условиям разделимости, и интегралы уравнений движения находятся из соотношений
= (17.9.7)
где
R = —2и (gu2 — hu -- а), (17.9.8)
S = 2v (gv2 + hv + gb2 — а). (17.9.9)
Перейдем теперь к классификации траекторий. Как и в общей теории (§ 17.4), здесь можно воспользоваться плоскостью ha, однако удобнее применить более простой метод. Кубический полином R должен иметь все нули вещественными. В самом деле, если
318
СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVII
бы квадратичная форма
gu'
hu
имела комплексные нули, то полином R был бы отрицательным для всех положительных значений и и никакое движение не было бы возможно. Следовательно, нулями полинома R будут щ, и2, 0, причем U1 и U2 — числа вещественные, щ ^ и2. Поэтому для классификации траекторий можно вместо плоскости h, а воспользоваться плоскостью щ, и2. Критические кривые определить нетрудно, однако сделанные в § 17.5 замечания относительно пересечения критических кривых в плоскости h, а применить здесь непосредственно нельзя.
Итак, определим сначала критические кривые. Для R это кривые щ = 0, и2 = О, U1 = и2. Область щ < 0 исключается, так как U1 < 0 означало бы, что R <с О для всех положительных значений и. Таким образом, щ ^ 0; при щ > 0 имеем либрацию между пределами щ и и2, если и2 > 0, и между пределами U1 и 0, если и2 < 0. Критическими кривыми для S будут V1 = 0, V2 = 0, V1 = V2. Интерпретируем теперь это на плоскости U1, и2. Величины V1, V2 являются корнями уравнения
V2 + (U1 +u2)v+ (щи2 + b2) = 0. (17.9.10)
Следовательно. V1 или V2 обращается в нуль, если точка (щ, U2) лежит на гиперболе
(17.9.11)
Далее, V1 и V2 вещественны и
вещественны и равны, если
и комплексны, если
U1U2 + Ь2 = 0. различны, если U1 — U2 > 2Ь;
U1 — и2 = 2Ъ,
Uj - U2 < 2Ь.
(17.9.12) (17.9.13) (17.9.14)
Полученные кривые изображены на рис. 57. Уравнение (17.9.13) определяет касательную к гиперболе (17.9.11) в точке (Ь, —Ь).
Рис. 57.
Рис. 58.
Для классификации траекторий нужно рассмотреть четыре области и разделяющие их граничные кривые. Ниже приводится таблица нулей функций R и S:
Область 1. U1 > U2 > 0; V1, V2 комплексные или 0 > V1 > V2',
2. U1 > 0 > u2; V1, V2 комплексные или 0 >• V1 > v2;
3. щ > 0 > u2; V1 > V2 > 0;
