Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 17.6. Приложения теории. Изложенная выше теория дает общее представление о типах возможных траекторий и методах их классификации. Применив ее к конкретным примерам, всегда можно ясно представить физический смысл выбранных координат. Формальное применение теории может привести к неправильным выводам. Например, может случиться, что одна из лагранжевых координат ограничена и значения этой координаты вне отмеченной области лишены физического смысла (так, в теории центральных орбит радиус-вектор г всегда неотрицателен). Существование подобного рода ограничений на координаты может привести к появлению новых исключаемых областей на диаграмме h, а. Формально в этих областях траектории существуют, но значения одной из координат выходят за физически допустимые пределы. Кроме того, ограничения на координаты могут повлечь за собой некоторое видоизменение теории устойчивости. Для иллюстрации сказанного предположим, что функция R имеет трехкратный нуль а, который является предельным значением координаты х, х ^ а. Если % (а) > 0, то возможно лишь устойчивое движение вдоль кривой X = а, лимитационное же движение невозможно. Но если а есть двукратный нуль функции R и является предельным значением для х, то теория устойчивости не претерпевает никаких изменений.
Еще до изложения общей теории нами был приведен один пример классификации траекторий. Мы имеем в виду задачу о сферическом маятнике (§ 5.3). На рис. 7 изображена диаграмма h, а. Критическими кривыми являются кривые а = 0 и а = ср (h). Мы видели, что траектории подразделяются на три типа в зависимости от того, располагается ли точка h, а внутри допустимой области или находится на одной из критических кривых, ее ограничивающих.
?i) (х — а2) (х — CZ3) р (х).
(17.5.4)
х~> а3 или а2 > х > аи
(17.5.5)
(17.5.6)
§ 17.7. Притяжение к центру по закону fe/r"+1. Пусть частица движется в плоскости в поле притягивающих сил с потенциалом —\х/гп (на единицу
312
СИСТЕМЫ C ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVU
массы), где п — целое число, большее двух. Уравнения (17.3.5) принимают вид (и = 1/г)
du dQ .ej/2it*d*, (17.7Л)
где
Vf (и) Va / (и) = ушп — au2 + h.
(17.7.2)
Эти уравнения легко могут быть получены из общей теории § 17.3 или, при соответствующем изменении обозначений, из уравнения (5.2.14). График функции / (и) для положительных значений и представлен на рис. 50. Если принять некоторое фиксированное (положительное) значение а, то изменение
CC
2 у
Рис. 51.
h приведет к смещению кривой как твердой линии вверх или вниз. Имеется два критических значения h. Это, во-первых, значение h = 0, при котором / (и) имеет два совпадающих нуля и = 0 и один положительный нуль и = Ъ. где
—. (17.7.3)
ьп-%=-
И, во-вторых, значение Zi = A1, где
A»-« = (n_2)«-(-l)'(^.)n. (17.7.4)
При этом значении h функция / (и) имеет два совпадающих нуля и = а, где
а"'2 = — . (17.7.5)
Критическими кривыми на диаграмме h, а (рис. 51) будут
h = 0, h = hi (а).
(17.7.6)
Здесь Zi1 (а) определяется уравнением (17.7.4). Полуплоскость а < 0 исключается, а в верхней полуплоскости мы имеем три области, разделенные критическими кривыми. Рассмотрим определенное значение а (т. е. точки на некоторой горизонтальной прямой на рис. 51) и проследим за теми изменениями, которые происходят при увеличении h от —оо до +оо. При h = О ср (0) <; О, и при движении слева направо (т. е. из области Ж в область Я, см. § 17.5) система траекторий распадается на две системы. Здесь нужна известная осторожность при применении общей теории, иначе можно прийти к выводу, что при h = О имеем устойчивую круговую траекторию на линии и = 0. Однако
S 17.7,] ПРИТЯЖЕНИЕ К ЦЕНТРУ ПО ЗАКОНУ h/rn+l 313
это не имеет физического смысла, ибо и = llr; более того, теория устойчивости неприложима к этому случаю, поскольку малым изменениям и здесь вовсе не соответствуют малые перемещения в пространстве. Как указывалось в § 17.6, следует иметь в виду возможность такого рода аномалий, обусловленных свойствами выбранной системы координат. При A = A1 tp (а) > 0 (знак Ф (а) совпадает со знаком /" (а)), и нри переходе слева направо (т. е. из области Я в область 35) система траекторий исчезает.
Прежде чем перейти к классификации возможных типов траекторий на
(* du _
плоскости, заметим, что интеграл \ —г= сходится в нуле и в бесконеч-
J Vf(u)
ности. Отсюда следует, что величина 0 стремится к конечному пределу, когда траектория уходит в бесконечность или приближается к притягивающему центру. Кроме того, каждая траектория, уходящая в бесконечность, имеет асимптоту, поскольку dQIdu стремится к конечному пределу, когда и стремится к нулю. '
Теперь можно перейти к классификации і траекторий. Обозначим три области, указанные на рис. 51, цифрами 1, 2, 3, а разграничивающие их кривые—цифрами 12 и 23.
1. А<0; и возрастает от нижнего предела и0 до оо, причем U0 > Ъ. В этом случае существует лишь один тип траектории, в виде розетки, расположенной внутри окружности г = 1Iu0 (рис. 52). формулой
