Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
циклоиде
_d"_ __ - mg sin + R.
ds 2
Производная da/ds согласно (2) равна
dafds =-------- dy/ds.
2
Поэтому
R - mg sin ~ - mv2/4a sin -2-.
Принимая во внимание интеграл энергии, окончательно находим
R = mgslti - - (Е0 + mga cos q>) / 2а sin-;
2 / 2
Rx == i?sin-^-; Ru - i?cos-.
* 2 * 2
5.12. В системе отсчета, вращающейся вместе с плоскостями, направим ось г
вдоль оси вращения, а ось у вдоль нормали к плоскостям. Тогда уравнения
Лагранжа первого рода имеют вид
х - ооах = - g sin oof; Ry = mg'cos oof + 2тха; z = 0.
Закон движения точки можно представить в виде
x = x0choof+ - (х0-----------^ shoof-i--sin oof;
(c) \ (c) / й*
g = 0; z = z0f + z0.
184
Уравнения Лагранжа
[Гл 5
Следовательно, реакция связи изменяется во времени по закону i? -
Smgaisat 2тсо2 х0shcot + 2та> ^х0-ch(at.
5.13. В неинерциальной системе отсчета с началом в точке пересечения
вертикальной оси и окружности введем цилиндрические координаты (ось г
направлена по оси вращения, а ось х- по диаметру окружности). Тогда
уравнения связи имеют вид
/i = P - 2acosq> = 0; = z = 0. (1)
Запишем также уравнение движения
тг = mg - 2т[ы v] - fli[w[ter]] + уД +Х2у/а* (2)
откуда следует, что
mz== - mgК = mg. (3)
Теперь из закона сохранения полной энергии
Y (р2 + р2(Ра + z"a)- V ш2Ра + т&г = Ео и уравнений (1) находим
2таг ф2 - 2тФ <о2 cos2 ф = Е0, откуда следует закон движения в
квадратуре:
dy
I
2та3
¦ <02 COS2 Ф
1/2
t-it. (4)
Множитель можно найти, используя (4), (1) и любое из оставшихся уравнений
т (р - р ф2) - 2т р фю -f- т рсо2 -f- Яг;
Л_ _fL. р2ф - 2 рю т + р(c)2 т Н-2а sin ф.
Р dt Р
5.14. Уравнение движения шарика и уравнение связи в системе отсчета,
жестко связанной с кривой, имеют вид
тг' - mg - 2т [w v] - т ю (ю г) + тг ю2 + R; (1)
г2 = 2а2 cos 2ф. (2)
Тангенс угла а наклона касательной лемнискаты к оси Ох равен
tg а = dyjdx = - etg Зф, (3)
Уравнения Лагранжа с реакциями связей
185
Отсюда заключаем, что
da/ds = 3 dyjds,
(4)
причем
(5)
Поэтому уравнение движения вдоль нормали к лемнискате имеет вид
3nufl У cos 2ш 9 , .
----------2- --. mg cos cc- m or r cos a sin <p +
аУТ
+ m coV (sin ф cos a - cosq>sina) + Rn-Отсюда, учитывая (3), получим
Rn = ¦ --t'--^cos 2(p-)- mg-sin Зф - /я oo2 a cos ф cos Зф ^2cos 2ф .
(6)
Затем из закона сохранения энергии
+ mga sin ф J/2cos 2ср - (aacos<pl/2cos2tp )2 = ?0 (7)
2 2
получим скорость шарика как функцию положения. Формулы (6) и (7) приводят
к требуемому результату.
5.15. Помещая начало координат в центр окружности и направляя ось z по
вертикали вниз, получим уравнения движения в цилиндрических координатах
где Я- нормальная реакция окружности. Из (1) и (2) следует, что
аУТ
may = - mg sin "р - kR; may2 - R - mg cos cp,
(1)
(2)
R - may2 + mg cos cp; ay = - g (sin ф + k cos cp) - ka cp2. Теперь введем
функцию со = ср; тогда
(3)
(4)
а уравнение (4) преобразуется к виду
4- 2k оо2 ---------------- (sin ф + k cos ф).
(5)
186
Уравнения Лагранжа
[Гл. 5
Это уравнение имеет решение
(оа - А (<р) e~2k<t,
где
ф
А (ф) = - Г -?- (sin ф + Acos9)e2ft,p dtp + С. о
Таким образом,
ш2 = Сег^ч Ч --------------------[(1 - 2k2) cos ф - 3ft sin ф}.
(1 + 4Щ а
Используя начальные условия
Ф (0) - 0; ф (0) = ш (0) =
Vo
а
найдем
c=s_^____2g(l-2#)
а* а(1+4А") '
Наконец, полагая со2 (ф = п/2) = 0, для искомой скорости получим
"^Тм^(3^я+1_2*а)-
5.16. Уравнения движения и связей запишем в цилиндрических координатах
(начало координат помещено в центр окружности)
т
т( р -РФ2) =#р;
¦<р* ") = -*/? + ?;
р dt
гпг = - mg + Rx\
р = Ро; 2 = 0.
Здесь k - коэффициент трения; р0 - радиус окружности. Отсюда получим
уравнение
Ф = - k Y Ф* 4- ga/po -
в котором перейдем от дифференцирования по времени к дифференцированию ф
по длине дуги окружности. Тогда
?_____________= -(tm)-ds
Уравнения Лагранжа с реакциями связей
187
или после интегрирования
In * + /*+"* 2ft
•Й+[/Гфо + ба/Ро рв
где фо - угловая скорость в начальный момент времени (материальная точка
при этом находилась в точке So=0).
Так как при s = l ф=0, из последнего выражения находим
фо + V Фо + ?2/Ро = - е*1/р°.
Ро
Отсюда можно получить
Фо - VФо + g2/ Ро =----------
Ро
Складывая оба эти результата, придем к значению начальной кинетической
энергии
Т0 = - mg sh (I - s).
Ро
Затем найдем компоненты реакции связи
2k
Rp-^-mg sh - (I - s); Rz = mg.
Po
5.17. Уравнения движения и связи материальной точки, перемещающейся по
наклонной шероховатой плоскости, имеют вид (см. рис. 5.17)
шх - -k \ V/IjTp + A'-gj-;
mil = mg sin a - k | у /1 -Mr- ^ ^
dy '
mz = - mgcosa - k\y / = 2=0.
Из третьего и четвертого уравнений находим
X = mg сода.
Тогда первые два уравнения можно представить в виде
я= - &gcosa*(J)
Vn
188
Уравнения Лагранжа
[Гл 5
if - g 9Ш "----------- "g \Л1В ". --
где
У = ^Sfti а - fcgcos а -, (2)
°1
"Л - К** + & *
Если ввести новые переменные оц и tp согласно формулам х^оцсовф;
^Oiisincp, то (1) и (2) преобразуются к виду
"у cosф -v|| 9sin9 = - А^совасовф; vу sin ф о у ф cos ф = ?siti а - kg
