Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пф - [(r)Пф] = фSin Btlr - фСОв0П0.
Следовательно,
v = г == rn, + rnr = гпг + г0П0 -f г sin 0фпф;
w =¦ г = (г•- г02- гф2slna 0) пг 4-(r0-f 2r0 - rep2 sin 0 cos 0) na-f
+ (rip sin 0 4- 2гф sin 0 4- 2г0ф cos 0) пф.
§ 2. Уравнения движения и законы сохранения относительно неинерциальных
систем отсчета
4.8. Запишем уравнение движения в системе отсчета с началом в точке
подвеса
mr = mg4-R- юа. (1)
где R - натяжение нити.
Проектируя обе части (1) на касательную к окружности - траектории
маятника, получим
mlф = - mg-sin ф - та cos ф.
Полагая здесь g = Va2 -f ga cos фед; а = - Vd* + g* sin фе9, получим
ф -f ..УУ + g_ sin п (ф - Фе?) ^ 0. (2)
6*
164
Движение относительно неинерциальных систем
[Гл 4
Очевидно, положение равновесия определяется углом фг?. Производя в (2)
замену ф = Ф*, + х, находим уравнение
Решение этого уравнения см. в задаче 7.1.
4.9. Условие равновесия маятника в системе отсчета, вращающейся с
угловой скоростью ю и движущейся с ускорением w0, имеет вид
Проектируя обе части этого уравнения на горизонталь и вертикаль и
исключая реакцию подвеса R, найдем величину ускорения
где I - длина подвеса маятника.
4.10. В системе отсчета, жестко связанной с треугольником, выберем
декартовы координаты с осью у, направленной вдоль основания треугольника,
и началом координат в точке равновесия шарика. В этой системе имеем
уравнение
где я, фо - постоянные, определяемые начальными условиями, а
есть частота колебаний (она не зависит от параметров треугольника).
В инерциальной системе отсчета найдем закон движения шарика:
4.11. Из закона сохранения энергии во вращающейся системе отсчета
следует, что
R f mg = mw0- mw2p.
w0> = - g + COS Ф,
my -j- (2x - mco2) у = 0,
решение которого запишем в виде
у = а cos (Qf+Фо),
x = hcosmt - a cos (Qt -f ф0) sin <ot; у - ft sin oaf -f- a cos (?21 +
ф") costal.
-f m-gs cos a -у a>2s2 sin2 a = Eg,
Уравнения движения относительно неинерциальных систем
165
где s - расстояние, отсчитываемое вдоль прямой. Следовательно, о2 = - ^Яо
- mgs cos а + ¦- eo2s2 slti2 a j.
4.12. В системе отсчета, вращающейся вместе с кривой, имеет место закон
сохранения энергии шарика
mv2 , т г тг с1'
- + mgy - - [tor]2 - Я0.
Полагая здесь v = 0 и раскрывая [tor]2, найдем
"2 i *о
2 g mg
4.13. Пусть ось х' вращающейся с угловой скоростью ю системы координат
направлена вдоль трубки. Тогда уравнение движения шарика относительно
трубки имеет вид
тх' + х (х' - /0) - тоЛс' = - mg sin at,
где и- жесткость пружины, а 10 - ее длина в ненапряженном состоянии.
Решением этого уравнения является
8
(os - й(r)
(sin Ы - в1п?2Л + - (~ - oo2cosQ/V
\ Q / Qs \ т }
где Q2 = - со2. Подставляя полученное решение в формулы пре-
т
образования
х = х' cos о/; у = х' sin (at,
найдем закон движения шарика в неподвижных координатах.
4.14. Записывая уравнение движения
тг = mg - 2т [юу] - т[ ю [юг]]
в координатах
х - 2а>у -f to2*; (1)
у = - 2т + о) гУ, (2)
z^-g (3)
и вводя перемещенную % = x+iy, из (1) -(2) получим
|-со2| + 2"й? = 0.
Решением этого уравнения является функция
I = е~ш (А + Bt).
166
Движение относительно неинерциальных систем
(Гл. 4
Полагая здесь А = аёа\ В = Ьё$, найдем
х = acos (<а? - a) 4- bt cos (a>f - р);
у = - asin (tot- а) - btsitt (tot - 0);
кроме того, из (3) имеем:
z = - ^a/2-f z0t + 20.
При движении точки сохраняются обобщенная энергия и проекция момента
вектора обобщенного импульса на ось z:
-+ mgz-уш2 (л:2 + у2) = Ёй\
т (ху - ху) + шо (х2 + уа) = Мгв.
4.15. Во вращающейся вместе с окружностью системе отсчета имеет место
закон сохранения энергии
trtxy^ ftt г ig
mgr - - [юг]2 =?о.
Выберем начало координат в верхней точке окружности и направим ось д;
вдоль хорды, а ось у перпендикулярно хорде в плоскости окружности. Тогда,
учитывая, что в рассматриваемой задаче ^о = 0, получим уравнение
тх2 т о " , " п
mgx cos ф со2*2 sin2 ф = 0.
2 2
Отсюда получим интеграл, определяющий время движения точки:
гнсозф
___________dx___________
У os2*2 sin* ф 4- 2gx cos ф
Вычисление этого интеграла приводит к следующему результату:
t -----1----In Г- V2Rto2 sin2 ф (2tfco2 sin2 ф 4- 2ц) +
о sin ф L g
2/?ш* sin8 ф I j I
g J'
4.16. В системе отсчета, связанной с Землей, уравнение движения имеет вид
тг' = Fo' - tn [ю 1е"г']] - 2m [wr' J,
где Fo--сила притяжения Земли, а г' - радиус-вектор точки с началом в
центре инерций Земли. Введем теперь систему отсчета
Уравнения движения относительно неинерциальных систем
167
S' с началом на поверхности Земли. Полагая r'=R+r, (R- радиус-вектор
начала S, проведенный из центра масс Земли), получим
тг - mg - m[w[wr]] - 2m[wvJ, (1)
где g = - + [ш [Re"]] (M - масса Земли).
R
Отношений максимальных величин основной части центробежной силы, силы
mcoV и силы Кориолиса к силе притяжения (<о=0,73 -10-4 с-1)
соответственно равны
ш*Чг - 3,2-10~3; -т- яв0,5• 10 9г; - = 1,5-10-Ч"
Р(У F Q, F0, ум
(здесь г и v - численные значения в системе СИ).
Следовательно, при г-СЗ,0-104о частью центробежной силы ~mcoV в (1) можно
