Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
выходит из состояния покоя. Какую угловую скорость приобретает куб после
того, как шарик скатится по его диагонали?
8.33. После того, как однородному диску массы т радиуса а сообщили
угловую скорость (c)о, его поставили на шероховатую наклонную плоскость,
образующую угол а с горизонталью, при этом диск стал двигаться вверх.
Рассмотреть случай, когда диск движется в вертикальной плоскости,
перпендикулярной наклонной поверхности. Коэффициент трения между
поверхностями k. Найти
а) расстояние, пройденное центром масс диска до того момента, когда он
начинает катиться без проскальзывания, и работу сил трения, совершаемую
до того же момента; б) максимальное расстояние, пройденное диском вверх
по плоскости (&>tga).
§ 3. Общий случай движения
8.34. Взяв в качестве обобщенных координат твердого тела углы Эйлера <р,
0, ф, показать, что обобщенные импульсы р<р, ре. р\р являются
соответственно проекциям кинетического момента тела на ось г, ось узлов и
ось г'.
Общий случай движения
59
8.36. Однородный стержень массы т длины I одним концом скользит по
гладкой горизонтальной плоскости. Найти лагранжиан стержня и первые
интегралы движения.
8.36. Однородный стержень массы т длины I укреплен так, что может
вращаться вокруг вертикальной и горизонтальной осей, проходящих-через
середину стержня. Написать уравнения Лагранжа, найти их решение и частоту
колебаний стержня вокруг горизонтальной оси.
8.37. Стержень массы m длины I вращается с постоянной угловой скоростью
вокруг вертикальной оси, проходящей через его
середину (рис. 8.37). Расстояния точки пересечения оси и стержня от опор
1 и 2 равны а. Угол а между стержнем и вертикалью остается постоянным.
Найти реакцию опор.
8.38. Однородный стержень длины а и массы т при помощи легких колец
прикреплен своими концами к гладкой окружности радиуса а и .может
скользить вдоль нее (рис. 8.38). Окружность вращается с постоянной
угловой скоростью to вокруг вертикальной оси, совпадающей с диаметром
окружности. Вычислить скорость центра масс стержня в тот момент, когда он
расположен горизонтально (в начальный момент времени стержень покоился
относительно окружности в вертикальном положении).
8.39. Вертикальная плоскость вращается с постоянной угловой скоростью ю
вокруг вертикальной оси. К оси прикреплен вершиной однородный круговой
конус с углом 2 а при вершине и образую-
Z
Рис 8.37
Рис 8 38
€0
Динамика твердого тела
[Гл 8
щей длиной I. В начальный момент времени ось конуса занимала
горизонтальное положение. Предполагая, что плоскость абсолютно
шероховатая, найти границы движения конуса (соприкасающегося с
вращающейся плоскостью).
8.40. Один конец оси симметричного волчка закреплен, а другой скользит по
гладкой вертикально расположенной окружности с центром в точке
закрепления волчка. Эта окружность вращается вокруг вертикальной оси с
постоянной угловой скоростью. Написать лагранжиан волчка и найти решение
уравнений движения в квадратурах.
8.41. Симметричный волчок закреплен в одной точке. Расстояние от точки
закрепления до центра масс волчка равно I. Найти решение задачи,
исследовать движение быстрого волчка, а также устойчивость волчка при его
вращении вокруг вертикальной оси.
8.42. Методом усреднения рассмотреть движение симметричного волчка с
закрепленной точкой (кинетическая энергия волчка велика по сравнению с
его потенциальной энергией).
8.43. Шарик движется по шероховатой горизонтальной поверхности,
вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью <й.
Найти угловую скорость вращения шарика и закон движения его центра масс.
8.44. Тонкий однородный диск радиуса а катится по
шероховатой'поверхности. Найти уравнения движения диска. Исследовать
Общий случай движения
61
условия устойчивости при движении диска по прямой линии.
8.45. Обруч радиуса а катится вдоль прямой линии по абсолютно шероховатой
горизонтальной поверхности так, что его плоскость остается вертикальной;
скорость центра масс обруча равна v. Показать, что при условии у2>1/4 ga
движение обруча устойчиво и при небольших возмущениях его плоскость будет
колебаться около вертикали с частотой
1
2я а
8.46. Центр однородного тонкого диска массы т радиуса а скреплен с концом
оси, перпендикулярной поверхности диска (рис. 8.46). Другой конец оси
(длина оси h) шарнирно закреплен "а расстоянии а от горизонтальной
шероховатой плоскости, по которой диск катится без проскальзывания. Найти
реакции связей в точке а шарнирного закрепления оси и в точке 6 касания
диска с плоскостью.
8.47. Центр масс симметричного спутника движется по окружности радиуса г0
вокруг Земли. Написать уравнения, определяющие положение спутника
относительно плоскости орбиты и радиуса-вектора, проведенного из центра
Земли в центр масс спутника.
8.48. Исследовать прецессию и нутацию оси симметрии Земли, обусловленную
силами притяжения со стороны Солнца.
ГЛАВА 9
Уравнения Гамильтона
§ 1. Канонические уравнения. Скобки Пуассона
