Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
радиуса а в системе координат с началом в некоторой точке О окружности
основания полусферы, осью Ох, направленной по диаметру основания, и осью
Оу, касательной к окружности основания. Определить направления главных
осей инерции, проходящих через точку О, и вычислить главные моменты
инерции, соответствующие этим осям.
Пдоскопараллельное движение
55
Рис. 8.16
§ 2. Плоскопараллельное движение
8.19. Диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости. Найти
функцию Лагранжа, закон движения диска и реакцию плоскости (рис. 8.19).
8.20. Концы тонкого стержня массой т длины I скользят по параболе y=kx2 с
вертикально расположенной осью у (рис. 8.20). Найти частоты линейных
колебаний стержня.
8.21. Однородный полый полуцилиндр (одна из половин цилиндрической
поверхности, разрезанной вдоль плоскости, проходящей через ось этой
поверхности) массой т радиуса а находится на абсолютно шероховатой
горизонтальной плоскости и совершает линейные плоскопараллельные
колебания (рис. 8.21). Найти период этих колебаний.
8.22. На неподвижный горизонтальный цилиндр радиуса а положен абсолютно
шероховатый брусок массы М с прямоугольным поперечным сечением высоты 2 b
так, что продольное направление бруска перпендикулярно оси цилиндра (рис.
8.22). Определить период линейных колебаний бруска, если его главный
момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс
параллельно оси цилиндра, равен Mk2.
8.23. Твердое тело, момент инерции которого относительно некоторой оси
равен J, совершает лннейн'ые крутильные колебания
56
Динамика твердого тела
(Гл 8
вокруг этой осп. Это тело подвешено на нити, которая представляет собой
упругий круглый цилиндр длиной I, радиуса R с плотностью массы о и
подчиняется закону Гука. Найти период крутильных колебаний тела с учетом
упругости нити.
I X
Рис. 8 22
8.24 Осью полого однородного цилиндра радиуса а и массы Л1 служит легкий
стержень. В начальный момент цилиндр покоился на абсолютно шероховатой
горизонтальной плоскости, а математический маятник длины I и массы т,
подвешенный к середине оси цилиндра, был отклонен перпендикулярно оси
цилиндра на угол ос от вертикали. Найти амплитуду колебаний центра масс
цилиндра.
Плоскопараллелыюе движение
57
8.25. Однородный круговой обруч массы М радиуса а подвешен в одной из
своих точек. Обруч совершает свободные колебания в своей плоскости (рис.
8.25). Максимальное значение угла отклонения 0 диаметра обруча,
проходящего через точку подвеса, от вертикали равно а. Найти наименьшее и
наибольшее значения величины реакции точки подвеса.
8.26. Однородный круговой цилиндр массы т радиуса а ка: гится без
проскальзывания по внутренней шероховатой поверхности неподвижного полого
цилиндра радиуса b (рис.
8.26). Какую минимальную угловую скорость необходимо сообщить первому ци-
линдру в положении равновесия, чтобы он двигался, не отрываясь от
внутренней поверхности неподвижного цилиндра.
8.27. Найти общее решение для линейных колебаний двойного маятника,
состоящего из двух плоских абсолютно твердых тел: первое тело может
вращаться вокруг гладкой горизонтальной неподвижной оси, а второе -
вокруг оси скрепленной с первым телом и параллельной неподвижной оси.
8.28. Однородный стержень массой т. и длиной 2 а опирается своим верхним
концом на гладкую вертикальную стенку, а нижним - на гладкий
горизонтальный пол. Стержень удерживается так, что он составляет угол а с
вертикалью и находится в вертикальной плоскости.
Показать, что предоставленный самому себе стержень при падении отделяется
от вертикальной стены в тот момент, когда угол его наклона к вертикали 0
удовлетворяет условию
58
Динамика твердого тела
[Гл, 8
о 2
cos 0 = - cos а.
3
8.29. Однородный цилиндр массы М катится с постоянной скоростью центра
масс V0 по горизонтальной абсолютно шероховатой платформе, а затем
скатывается по приставленной к платформе наклонной плоскости (скорость V0
перпендикулярна оси цилиндра и ребру, образованному платформой и
плоскостью). Под каким максимальным углом должна быть поставлена
плоскость, чтобы при переходе на нее цилиндр не делал скачка?
8.30. Однородная пластинка массы т имеет форму равнобедренного
прямоугольного треугольника с катетами длиной а. Пластинка вращается по
инерции вокруг ,'"оего вертикального катета, так что вершина прямого угла
служит верхней опорой, а вершина одного из острых углов - нижней. Какова
постоянная угловая скорость вращения пластинки, при которой
горизонтальная составляющая реакции нижней опоры равна нулю?
8.31. Однородный тяжелый стержень длины 2 а равномерно вращается без
трения вокруг своего верхнего конца, сохраняя постоянный угол а с
вертикалью. Определить направление реакции в точке опоры.
8.32. Однородный куб массы а с ребрами длины а может свободно вращаться
вокруг вертикального ребра. Вдоль диагонали куба, не пересекающей оси
вращения, высверлено тонкое гладкое отверстие. В верхнйй конец
диагонального отверстия вкладывается шарик массы т2, после чего система
