Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
(если учесть, что M0 находится в центре шара, то M0M=R
для всех точек M на поверхности шара). В силу теоремы единственности, других, гармонических внутри шара функций, удовлетворяющих тому же граничному условию, не существует.
Если M0 не лежит в центре шара, то для построения функции G1 (М, M0) найдем сначала точку M1, симметричную точке M0, т. е. такую точку, которая лежит на продолжении луча OAf0 и для которой имеет место равенство: OM0-OM1 = R2 (рис. 92). Обозначим через р расстояние от центра шара до M0, а через г, — расстояние от M1 до M (где M — переменная точка, лежащая внутри или на поверхности шара) и рассмотрим следующую функцию:
G1 (М, М„) = -5- • т- • (6)
P Г1
Она является гармонической внутри шара (в чем можно убедиться
^alaUauslih.
Г лава 4, § 2 349
непосредственным дифференцированием, если учесть, что R Ир
ПОСТОЯННЫ И ЧТО — — 1 - -г. где (X1, Уі,2і)
fl V(х — Xi)2 -f (у — IJ1)* -f (Z — Z1)*
— координаты фиксированной точки M1, а (лг, у, г)—координаты переменной точки M в шаре); эта функция непрерывна для всех точек М, лежащих внутри и на границе шара, причем ее
значения на границе равны -дрд|- • В этом можно убедиться сле-
дующим образом (рис. 93); пусть M—точка на поверхности сферы; соединим ее с точками О, M0 и M1 (все эти четыре точки лежат в одной плоскости, так как точки О, M0, M1 лежат на одной прямой). Треугольники OM0M и OMM1 подобны: они имеют общий угол (при вершине О) и по две пропорциональные стороны
(так как OM0^OM1 = R2, то ~ ) • Следовательно, и
третьи стороны пропорциональны этим двум, т. е.
MM1 OM M0M ~ OM0 •
откуда
—-— = (7)
M0M P '1 ' v 7
Итак, значения функции —^r- на границе шара равны
1 р 1 -д4оді ; следовательно, функция, определяемая равенством (6),
удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к функции G1 (М, M0). В силу теоремы единственности, других гармоничес-
350
Часть III
них функций, удовлетворяющих тем же условиям, не существует. Теперь можно построить функции Грина G(M, M0):
где г — расстояние от M0 до переменной точки M в замкнутом шаре; используя равенства (5) и (6), получим:
С помощью функции Грина можно решить задачу Дирихле для сферы при произвольных, наперед заданных граничных условиях.
Пусть q (M) — функция, гармоническая внутри шара радиуса R (с центром в точке О). Считая известными значения, принимаемые функцией q(M) на поверхности 5 этого шара, найдем значение этой функции в какой-либо точке M0, лежащей внутри шара.
1. Пусть M0 — центр шара. Тогда
Так как, по условию, M0 находится в центре сферы, то производная по направлению внешней нормали к поверхности сферы равна частной производной по г:
Таким образом, нами получен тот же результат, который был уже получен раньше (§ 1): значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому ее значений на поверхности сферы.
G(M, M0) = j--G0 (М. M0),
г /?
при M0 = 0;
G (Mt M0) =
(8)
' q (M) ± G (M9 M0) dS =
s
Во всех точках поверхности 5 имеем г = R; поэтому
ят = - я т (- dS ~ TLr JJ9 (M) OS.
Ш|а1аи5Г|і
Глава 4. § 2
351
2. Пусть теперь M0— произвольная внутренняя точка шара, отличная от его центра. Тогда
*. ±)dS =
P г I J
_i_
4«
Вычислим -4г fLV дп [г I
(!)
дп
grad — -cosI grad-
es
I -
п
(9)
(10)
Ho і-
------------ , —7 (где (x0, у0, 2о) —коорди-
„ Vi* - х0)% + (у - *)¦ + (г - го)1 наты M0, а (де, і/, г) — координаты переменной точки М). Вычисляя градиент, находим:
grad
JL (* ~ *оИ + (У — Уо) / + (г — г0) ft _ ДУЙ
К* *о)9 4* (У Уо)а + (г — Zo)9] следовательно, градиент направлен в сторону, 'прямо противоположную вектору M0M. Если обозначить через а угол между векторами M0M и я (рис. 93), то угол между grad ~ и п равен
т: — а, а косинус этого угла равен —cos а.
Далее,
1
grad-
і
Подставляя это в равенство (10), получим:
•(f)
дп
1
-г COS а.
Аналогично вычисляется
дп
: обозначая через Ot1 угол между
векторами M1M и п, будем иметь:
аШ
дп
1
=--------2~ COS O1.
T і
г
352
Часть III
Внесем полученные результаты в формулу (9):
Я (M0) = —sT U(M)
S
I , R
-S- cos а -|-----------------г- cos а,
PrI
dS. (11)
В подынтегральном выражении легко исключить a, O1 и гх (выразив их через переменную величину г и постоянные R И р). Рассматривая треугольник OM0M (рис. 93), мы видим, что
Pa = г8 + R2 — 2rR cos а;
следовательно,
г* + /?* — Pa cosa = -2FR- ¦
Аналогично из треугольника OM1M получаем:
(OM1)* — г* + R2 — 2rxR cos Ci1.
Ri Ri
HoOAf1 =?щ- = —; кроме того, из подобия треугольников (CM.
I R 1 Rf
выше, равенство (7)) имеем: — = — — , откуда T1 = — . Итак,
' P 'I P
COSa1 = —
Rr
Внося найденные выражения для cosa, Cosa1H T1 = у под знак интеграла (11), получим, после преобразований:
*«•> <12> Интеграл (12) называется интегралом Пуассона для сферы. Он дает значение гармонической функции в любой точке M0 внутри сферы по значениям этой функции на поверхности*. Преобразуем этот интеграл, чтобы сделать его более удобным для прак-
