Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
8) При полуцелом / особое представление Dj всегда разлагается только на особые неприводимые представления.
Общие положения (1) — (4), касающиеся взаимозависимости между структурами групп G+ и G, в сочетании с теоремами (5) — (7а, б, в) и с хорошо известными соотношениями между характерами неприводимых представлений произвольной конечной группы, позволяют полностью вычислить характеры всех особых неприводимых представлений G+. Для этой цели не обязательно*) (как это делал Бете [1], § 8) устанавливать соотношения между классами группы G+ или предварительно отыскивать характеры неприводимых представлений группы G.
В качестве примера вычислим характеры всех особых неприводимых представлений двойных групп ромбоэдра и тетраэдра—двух групп, которые не рассматривались в работе [1].
Напомним прежде всего соотношения между характерами неприводимых представлений произвольной конечной группы (см., например, [3], § 57).
Введем следующие обозначения: g — число элементов группы; hi — число элементов в 7-м классе; %ui — характер элемента класса Z в неприводимом представлении с номером и; %*и1 — величина, комплексно сопряженная %т\ г — число классов, всегда равное, как известно, числу неприводимых представлений. Мы имеем
г
(D
г
(II)
*) Это, во всяком случае, верно для подгрупп группы Rz, имеющих физические приложения (например, для кристаллографических групп).
278
В ОПЕХОВСКИЙ
Здесь индексом k' обозначен класс, обратный классу k. Применяя соотношение (II) к классу, состоящему из единичного элемента, получаем
2nl = g, (Ня)
где пи — размерность представления и.
Двойная группа ромбоэдра. 12 элементов, 6 классов.
Группа ромбоэдра содержит 6 элементов, распределенных но трем классам. Из формулы (ПЕ) следует, что размерности трех ее неприводимых представлений (неособых в двойной группе) равны, соответственно, 1, 1 и 2. Аналогичным образом можно заключить, что размерности особых неприводимых представлений также равны 1, 1 и 2. На основании теорем (6), (7а) и (7в) немедленно получается следующая таблица характеров особых неприводимых представлений*):
E
R
ЗС2 (4)
2 (4)
2^3 (3)
Zb3 (6)
1
1
1
1
1
1
T2
1
1
-1
-1
1
1
T3
2
2
О
О
-1
-1
T4
1
-1
І
— /
а
—а
T5
1
-1
-/
І
а
—а
T6
2
-2
О
О
-1
1
o=l, как показано в тексте.
Символ hCp (qy относящийся к классу группы O+, означает, что класс содержит h элементов порядка q и что соответствующие элементы группы G имеют порядок р. Классы с одинаковым числом точек над буквой С являются взаимно обратными; классы без точек обратны самим себе. Символ пГи обозначает неприводимое представление размерности п% номер которою есть и (w = 1, 2, .... г).
*) Для полноты в таблице указаны также (выше жирной горизонтальной черты) характеры неособых представлений Они, однако, не были использованы при вычислении характеров особых неприводимых представлений.
О КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ «ДВОЙНЫХ» ГРУППАХ
При составлении таблицы снова используется тот факт, что для произвольной группы характер элементов класса, обратного самому себе, всегда вещественен; используется также то обстоятельство, что если одномерное представление произвольной группы не вещественно, то комплексно сопряженное представление не эквивалентно ему.
Нам нужно еще определить число а. Применяя соотношение (I) к представлению 1T4 с и = v = 4, получаем а2 = 1. Порядок элементов класса Сз(з> равен 3, т. е. а3 = 1. Следовательно, а = 1.
Разложение представлений Dj на неприводимые представления двойной группы ромбоэдра выполняется без труда:
Двойная группа тетраэдра. 24 элемента, 7 классов.
Как и в случае двойной группы ромбоэдра, нетрудно установить-вид таблицы характеров особых неприводимых представлений; она приведена на следующей странице (см. примечание на стр. 278).
Соотношение (I) дает:
/ целое:
Do=T1;
A = T2 + T3;
Л2=Т1+22Г3;
Dj=T1+2 T2+ 2 2Г3;
D4 = 2 T1 + T2 + 3T3;
D5=T1 +2 T2 + 4 T3;
D, = Dy_6-r-2T1 + 2T2 + 42r3
(/ = 6, 7, 8, ...).
(и = V (и = V {и = 5, V (и = 5, V
6) -> хх* 7)->УУ'
6) -> X + X*
7)^У + у'
1; 1;
- 1;
280
В. ОПЕХОВСКИЙ
E
R
4С'
(6)
(3)
4^3 (6)
4С3 (3)
6С2 (4)
T1
1
1
1
1
1
1
1
T2
1
1
є
8
8*
8*
1
T3
1
1
е*
8*
8
8
1
T4
3
3
0
0
0
0
-1
T5
2
-2
1
-1
1
-1
0
T6
2
-2
X
— Jt
X*
— X*
0
T7
2
-2
У
-у
У*
"У*
0
е _ e2Jtf/3_ j(aK показаНо в тексте, х — у* ¦> е. Система обозначений — та же, что и в предыдущей таблице.
Поскольку хфу, отсюда следует, что X = е™Р, у = х\
Представления Dj разлагаются на неприводимые представления двойной группы тетраэдра следующим образом: / целое:
D0=1T1-
D1 = 3T4;
02=Т2 + Т3 + ЗГ4;
D3 = T1+ 2 T4;
Z)4 = T1+ T2+ T3+ 2 T4;
O5 = T2+ T3+ 3T4;
Dy = 0,-6+ 'Г,+ T2+ T3+ 3T4 (/ = 6, 7, .,.).
О КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ «ДВОЙНЫХ» ГРУППАХ 281
