Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
а) Все базисные функции имеют один и тот же волновой вектор к.
б) Каждая базисная функция представляет собой собственную функцию одного из преобразований группы Gh (это явно указывается в каждой из таблиц).
СЛУЧАЙНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ B ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОНАХ
261
в) Если пространственная группа содержит инверсию /, то фазы базисных функций выбираются так, чтобы преобразование JK переводило каждую базисную функцию в самое себя. Здесь К есть оператор инверсии времени, преобразующий любую функцию в комплексно сопряженную ей.
г) Если совокупность преобразований Qw о, переводящих ft в волновой вектор, эквивалентный —ft, не содержит инверсии, но включает вращение вокруг оси второго порядка C2 или С2,_то фазы следует выбрать так, чтобы преобразования C2K или C2K переводили каждую базисную функцию в самое себя.
д) Если совокупность преобразований Qw о не содержит ни инверсии, ни осей второго порядка, то выбор фаз базисных функций безразличен.
В табл. I приведены матричные элементы векторного оператора F описанного выше типа в подпространстве, натянутом на две волновые функции и «ф?. Каждый матричный элемент оператора F есть вектор. В первых трех строках табл. I линейные многообразия МЦк), М>(ft), которым принадлежат функции
Таблица I
Случай
Fn или Fj J
Вещественная часть Fn
Мнимая часть Fii
Не содержит (Gk
(б)
Произвольны
Произвольна
Произвольна
состоит из одной
группы трансляций)
(а)
/
Произвольны
Произвольна
0
C2 или C2
(а)
1
±
Il
C2, / или C2, /
(а)
1
JL, 0
0, Il
Не содержит (Gk
(б)
1
1. Il
1, Il
состоит из группы
трансляций и S2
или S2)
г|)|, не могут быть неэквивалентными. В последних двух строках, однако, функции я|^, г|)? могут быть обе четными относительно отражения в плоскости симметрии, или обе нечетными, или могут иметь разную четность. Символ J- указывает, что рассматриваемый вектор должен быть перпендикулярен к оси второго порядка (или перпендикулярен к нормали к плоскости отражения), но в остальном произволен. Символ || указывает, что вектор_должен быть параллелен такой оси. Так же каки в работе I, C2 означает винтовую ось второго порядка, a S2 — плоскость скольжения. В столбце, озаглавленном «случай»,
262
К. ХЕРРИНГ
линейные многообразия М*(к) и (k) классифицированы соответственно их свойствам по отношению к инверсии времени, как в табл. I работы I; в настоящей таблице, однако, некоторые возможные случаи опущены.
Таблицы II, III и IV относятся к различным осям симметрии в з.Б. для простых кубических, объемноцентрированных или гра-нецентрированных кубических кристаллов. Предполагается, чго пространственная группа содержит центр инверсии. В таблицах указаны значения вектора (?, /?) для различных возможных представлений группы волнового вектора G\ которым могут принадлежать функции г|)? и г|^. Для этих представлений использованы обозначения БСВ. Величины р суть произвольные вещественные числа; через є (с индексами и без них) обозначены единичные векторы. Таблица II отвечает точкам к на оси
Таблица II
S4
S3
S2
2,
S1
Р\гЧ
0
Pu«
P24go
р2зеа
Р22Є
0
Рззс
V
р44Є
Таблица III
A3
+
A2
A1
Л,
P\Z*b
0
Pi.e
A2
922,4
Ргзеа
Р22^
Рззе&
Рззе_ Рззеа
РззЄ + р3з?а
Рззег>
СЛУЧАЙНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОНАХ 263
Таблица IV
a5
а;
a2
a2
а,
Pi5ea
Pl5?*
о
О
О
Рие
a2
92^b
-P25Eo
о
О
р22е
9Г5га
-92ъгь
о
р2,2,е
9у5гЬ
Р|'5?а
рп,е
+
0
Р55?
Р55е
О
симметрии второго порядка; здесь вектор е параллелен оси C2, еа нормален к оси C2 и находится в плоскости, преобразующейся в самое себя под действием /C4; наконец, гь есть вектор, нормальный к оси C2 и к вектору еа. Таблица III соответствует точкам к на оси третьего порядка. Одна из плоскостей симметрии /C2, проходящих через данную ось, считается выделенной; знаки плюс и минус отвечают, соответственно, собственным функциям, четным и нечетным относительно отражения в этой плоскости. Единичный вектор є параллелен оси C3, еа нормален к оси C3 и лежит в выбранной плоскости /C2, а вектор гь нормален к оси C3 и к плоскости /C2. Таблица IV относится к точкам к на оси четвертого порядка. Как и выше, произвольно выбрана одна из двух плоскостей симметрии /C2, содержащих данную ось, знаки плюс и минус отвечают собственным функциям, четным и нечетным относительно отражения в этой плоскости. Единичный вектор 8 параллелен оси C4, орт га нормален к оси C4 и лежит в выбранной плоскости /C2, а вектор еь нормален как к оси C4, так и к этой плоскости.
Таблица II составлена для представлений S группы волнового вектора, которую имеют точки на оси второго порядка внутри з. Б. Её можно использовать и для представлений групп, принадлежащих точкам общего типа S, Z, G, D, лежащим на границах з. Б., как показано на рис. 2, 3 и 4 БСВ [1]. Группы точек ZuD содержат преобразования симметрии, отличные ог
