Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Зона Бриллюэна всегда определяется однозначно, если существует плоскость симметрии, перпендикулярная к вектору обратной решетки г (см. равенства (2а)), который порождает данную часть поверхности. В этом случае грани поверхности располагаются на расстоянии г/2 по обе стороны от плоскости симметрии. Это условие выполнялось для векторов, параллельных координатным осям в простой кубической решетке, и для векторов, параллельных диагоналям граней в объемноцентриро-
206
Л. П БАУКАРТ, Р. СМОЛУХОВСКИЙ, Е. ВИГНЕР
ванной структуре. Выполняется оно и для векторов, порождающих секущие плоскости на рис. 4. Однако для октаэдрических граней на рис. 4 ситуация аналогична случаю триклинной решетки и, как будет ниже показано, приводит к похожим следствиям.
Итак, хотя общие требования и не приводят к однозначному определению поверхности зоны Бриллюэна, безусловно допустимо выбрать ее в виде, изображенном на рис. 4.
Ситуация внутри зоны Бриллюэна вновь ничем не отличается от случая простой кубической решетки, и соотношения совместности между малыми представлениями в точке Г и вдоль осей второго, третьего и четвертого порядка сохраняются. То же справедливо и в отношении точек X9 S и Z на квадратной грани. Точка W тождественна трем другим точкам поверхности, две из которых показаны на рисунке, а третья, нижняя, на рисунке не видна. Малые представления для точек К и U уже
Таблица XIV, Характеры малых представлений W
W
E
С2
2C2 2/C4 2/Cj
W1
w\
1 1
1 1
1 1 I 1 -1 -1
W2
W2
1 1
1 1
-1 1-І -1-І 1
2
-2
ООО
Таблица XV. Характеры малых представлений L
L
E
2C3 3C2
/
2/C3 3/C2
Lx
1
1 1
1
1 1
L2
1
1 -1
1
1 -1
L3
2
-1 0
2
-1 0
L\
1
1 1
-1
-1 -1
Li
1
1 -1
-1
-1 1
Ls
2
-1 0
-2
1 0
ТЕОРИЯ ЗОН БРИЛЛЮЭНА
207
были даны в табл. VI. Точка L тождественна с противолежащей ей точкой. Точки Q на линии LW принадлежат поверхности зоны, поскольку они переводятся сами в себя (т. е. в «тождественные» точки на противоположной грани) при повороте вокруг оси второго порядка, пересекающей оси Z и —X. Волновая функция с волновым вектором, оканчивающимся в точке Q, будет либо симметричной, либо антисимметричной относительно такого поворота. В первом случае она совместна с представлениями 7-і, Li, із, 7,з на одном конце линии и с представлениями W\, Wu Wz на другом. С другой стороны, антисимметричная функция совместна с представлениями L2, L2, L3, L3 и W2, W2, W3.
Группа точек, лежащих на линиях LK, KWy LU, UW, содержит только плоскость симметрии, в которой они лежат, и никаких дополнительных элементов симметрии, связанных с тем, что точки находятся на поверхности зоны, не возникает. Это естественно, поскольку поверхность можно отодвинуть от них. Соотношения совместности, приведенные в табл. X, справедливы (при kx = ky > kz) для точек S и Л, но аналог точки T отсутствует; точку T следует исключить из последней части (kx = nfd) этой таблицы. В остальном таблица сохраняет силу, но ее следует дополнить приведенными выше соотношениями совместности, связанными с симметрией точки Q.
На октаэдрических плоскостях поверхность зоны Бриллюэна нельзя выбрать так, чтобы точка
u _ 2« и и _ 2JL)
\к* d * у d ' z d )'
«тождественная» любой данной точке поверхности, получалась из нее с помощью преобразований симметрии. В результате нормальная производная энергии на более или менее произвольно выбранной октаэдрической грани будет обращаться в нуль только на диагоналях LW, разделяющих заштрихованные и не-заштрихованные области. С другой стороны, отсюда следует также, что энергия в точке
= -3- + 1*. = -3— і* — о. kz = y + v будет равна энергии в точке
I я , я я , )
а также, из-за наличия оси второго порядка, энергии в точке
(я я , . я )
208
Л. П БАУКАРТ. Р. СМОЛУХОВСКИЙ, Е. ВИГНЕР
Таким образом, в пределах данной грани энергия как функция волнового вектора будет симметричной относительно линии LW и, следовательно, будет обладать на октаэдрической поверхности вращательной симметрией шестого порядка
Литература
1. М. J. О. Strutt, Ann. Physik 85, 129 (1929); 86, 319 (1929).
2. F Bloch, Z. Physik 52, 555 (1928).
3. P. M. Morse, Phys. Rev. 35, 1310 (1930).
4. R. P e і e г 1 s, Ann. Physik 4, 121 (1930).
5. L. B r і 11 о u і n, Die Quantenstatistik, Berlin, 1931.
6. H. Jones, Proc. Roy. Soc. A 144, 225 (1934); 147, 396 (1934); H. Jones, N. F. Mott, H. W. B. Skinner, Phys. Rev. 45, 379 (1934); J. C Slater, Phys. Rev. 45, 794 (1934); Rev. Mod. Phvs. 6, 209 (1934); F. Hund, B. Mrowka, Ber. Sachs. Akad. Wiss. 87, 185, 325 (1935).
7. F. Hund, Z. techn. Phys. 16, 331, 494 (1935); Z. Physik 99, 119 (1936).
8. E. Вигнер, Теория гоупп, ИЛ, 1961.
9. Н. Be the, Ann. Physik 3, 133 (1929).
10. F. Seitz, Ann. of Math. 37, 17 (1936). (См перевод в этом сборнике, статья № 3.)
