Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
О ПРИВЕДЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
177
мы их полного приведения. Основная теорема, интересующая нас в этой связи, теорема I настоящего раздела, была впервые доказана Шуром [5]; ниже она будет изложена с несколько иной точки зрения.
Пусть мы имеем конечную разрешимую группу G), для которой задан композиционный ряд
Gi, G2, Gm, (8)
где Gm — единичный элемент. Тогда неприводимые представления группы Gh можно получить из неприводимых представлений группы Gz1+i с помощью следующей процедуры.
Пусть группа Gz1 получается расширением группы Gz1+I с помощью некоторого элемента Э. Расположим элементы группы G/i+i в таком порядке
«о«в, Ип, «If1, «U 9Ц, (9)
чтобы элементы S1-J при данном / под действием преобразования подобия, соответствующего элементу 93, испытывали циклическую перестановку. Поскольку группа Gi1 разрешима, наименьшее число г, для которого 8Г есть элемент группы Gh->ru — простое.
Пусть а0 есть неприводимое подпространство, принадлежащее неприводимому представлению Rq группы Gz1+i в гильбертовом пространстве представлений группы Gi, и пусть (ЛІ/Jnv) представляет элемент %ij в этом подпространстве. Тогда под действием элемента 33w (0<m<r) подпространство о0 переводится в другое подпространство, которое будет предполагаться независимым от подпространства о0 и от всех пространств, порождаемых другими степенями 95. Вскоре будет показано, что это предположение о независимости не влияет на общность получаемых результатов.
Поскольку Gz1+i есть инвариантная подгруппа группы Ghy пространство от будет представлять собой неприводимое подпространство пространства группы Gz1; неприводимое представление Gz1+i в этом пространстве таково, что матрица (?^Vv), представляющая элемент Я*,-, соответствует элементу Я//т =
= 93""w2l,7Q3m в подпространстве а0. Действительно, пусть Ф? есть функция, принадлежащая подпространству а0, тогда
S Og^**, (10)
так что
»ия</яа"тэт< = 9i(7sm< = 2 aflmMy «Vv (11)
12 Р. Нокс. А. Голд
178
Ф. зейтц
ИЛИ
V?=|<UvC- (12)
Далее, если k есть наименьшее целое число, для которого представления Rk и Ro эквивалентны, то эквивалентны и представления Rk+p и Rp. В самом деле, упорядочим операторы Я,-;- и их неприводимые представления так же, как и в выражении (9). Тогда представление Ri получается с помощью /-кратной циклической перестановки упорядоченных представлений в каждом из классов, образованных с помощью элемента 33, причем направление этой перестановки противоположно направлению циклической перестановки элементов %ij (с фиксированным /) под действием оператора 33. Следовательно, если представления Rk и R0 эквивалентны, то представление Rk+р будет эквивалентно представлению, полученному из R0 путем /7-кратной циклической перестановки.
Аналогичное рассуждение показывает, что представления Ri и Rt не могут быть эквивалентны, если ни одно из представлений Rm (i-^m^t) не эквивалентно Ro. Это означает, однако, что число г должно быть кратно k, и поскольку г — простое число, k может быть равно только 1 или г. Итак:
Представления Ri (/ = 0, ..., г— 1) либо все эквивалентны, либо все неэквивалентны.
Обозначим пространство, образованное подпространствами о' (/ = 0,1,..., г—1), через 2. Мы видим, что пространство 2 неприводимо, когда все представления R1 неэквивалентны. Это следует из леммы Шура, согласно которой единственная матрица, коммутирующая с представлением группы G^+i в пространстве S, диагональна со скалярными блоками в каждом из подпространств о\ Но каждое из названных подпространств под действием оператора 33 преобразуется по закону <xf->a'+1 (mod г), так что блоки должны быть одинаковы, и пространство S неприводимо.
В случае, когда представления Ri полностью эквивалентны, будет существовать матричный элемент, преобразующий представление Ri+\ в Ru так что Шш преобразует представление Rn в Rq. В этом случае мы выберем координатные векторы таким образом, чтобы в каждом из подпространств а1' представление Ri имело ту же форму, что и R0. Обозначим координатные векторы через Cf^, тогда
(PS=S ад. (із)
Из выражений (10), (11) и (12) следует, что если
О ПРИВЕДЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
179
то или
Кроме того, мы имеем соотношение так что
Отсюда ясно, что представление элемента O в пространстве 2 дается матрицей, отличные от нуля блоки которой расположены на пересечении столбцов, соответствующих подпространству о2', и строк, соответствующих подпространству ai+1; при этом соответствующий блок есть не что иное, как матрица ЭК-1. Выберем координаты в подпространстве а0 так, чтобы матрица ЗА была диагональна; эти координаты мы будем по-прежнему обозначать через ф^. В этом случае диагональные элементы матрицы Ш будут даваться корнями степени р из единицы, если Ър = (S (р = Ir). Введем теперь функции
эс<=2« (16)
и потребуем, чтобы функции %\ были собственными функциями
оператора S3. Поскольку соответствующее собственное значение должно отвечать одному из неприводимых представлений элемента 33, скажем, представлению, в котором элементу 33 соответствует число (оь, коэффициент bik должен иметь вид
