Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
так как первая сохраняет, а вторая меняет знак при инверсии.
Следует отметить, что сферические гармоники YT могут дать только представления рассматриваемой группы четности (—1)*. Очевидно, равенство (5.29) описывает операцию проектирования; при этом используется тот факт, что оператор / коммутирует
YT(Q9 Ф) = NшР\т{(cos Є)є*
(5.28)
4 Р. Нокс, А. Голд
50
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
f4. Т!
со всеми операторами /?; это и позволяет ограничить проекции подгруппой {E9 J) (ср. гл. 9).
Мы получили представление полной группы вращений из представлений ег'тф группы двумерных вращений. По этой причине число / принимает только целые значения и все представления имеют нечетную размерность. Естественно возникает желание обобщить эти рассуждения так, чтобы получить и представления четной размерности где / — полуцелые числа. Однако, грубо говоря, если / = я/2, то т принимает полуцелые значения, и тогда
#2я,г (5-3°)
Представления, в которых базисные векторы меняют знак при повороте на угол 2я, называются двузначными. Очевидно, они не могут задаваться обычными функциями пространственных координат; соответствующие партнеры представляют собой спиноры. Эти двузначные представления группы вращений составляют главный предмет главы 6; в гл. 10 мы снова рассмотрим их с несколько иных позиций. Пока ограничимся лишь простым прагматическим утверждением, что во многих расчетах двузначные представления можно рассматривать просто как четномер-ные представления группы вращений.
Прямое произведение двух представлений полной группы вращений можно разложить на неприводимые, пользуясь стандартной техникой, развитой в теории конечных групп.
Перепишем равенство (5.26) в виде
sin уф е т—/
Обозначим eim(f через а. Тогда характер представления прямого произведения ?>(/,) X Dih) (]\ > J2) равен
хЧф)хЧф) = S ami 2U «от— S«W; "',,Г," ' • (5.32)
m, =—/і w2=—/г w3 \
С другой стороны, поскольку представление прямого произведения должно выражаться в виде суммы неприводимых представлений, мы имеем
ф (ф) %h (ф)=2 ху (ф)=S tt,+a'rr"f • (5-33)
ГЛ. 5] НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП 51
4»
Приравнивая правые части (5.32) и (5.33), получаем
a/i+/a+l +a/i+/j+ . .. +aWi+I _0-(/г-/а)-_ ... — a-(/i+/2)A
= S(a/+,-aO. (5.34) /
Если в левой части (5.34) собрать попарно положительные и отрицательные члены, то станет ясно, что индекс / пробегает все значения от j\ — J2 до /j + /V Следовательно,
/«+/*
?><>'> X D(/2)- 2 D(i). (5.35)
Равенство (5.35) описывает, разумеется, не что иное, как хорошо известную векторную модель сложения моментов количества движения. Его следует сравнить с формальным соотношением теории конечных групп (3.22).
Методы теории групп позволяют пойти дальше этих простых результатов. Именно, оказывается возможным найти партнеров неприводимых представлений, входящих в представление произведения, выразив их в виде линейных комбинаций произведений исходных функций. Если функции -ф^1 образуют базис представления ?>(/:), а ty}™2 — базис представления то пространство произведений Цр™\ \|з™2 инвариантно относительно ?>(/,) X Далее, партнеры в базисах неприводимых представлений произведения DU) (j = /, + /2, Z1 + J2-I9 ... f |/, — j2\) имеют вид
^7-N1 S (/IUm1In81jm)CC2 (5.36)
7711, ГЛ%
(ср. (4.34)).
Величины (jiJ2m\m2\jtn) называются коэффициентами Клеб-ша — Гордана, или коэффициентами Вигнера, или просто коэффициентами векторной связи [4]. Коэффициенты Клебша — Гордана с точностью до нормировочного множителя Nj однозначно определяются свойствами группы вращений. Они не зависят от конкретного вида функций -ф^1, -ф^Ч Коэффициент отличен от
НуЛЯ, ТОЛЬКО ЄСЛИ Ш\ + ҐҐІ2 = т.
Мы ограничимся только этими сведениями о коэффициентах Клебша — Гордана. В книге [5] получено общее выражение для них и дан детальный анализ их свойств. Практически эта общая формула оказывается довольно громоздкой, и удобнее пользоваться краткими таблицами, содержащимися, например, в книге [6].
Постоянно обращают внимание на связь между неприводимыми представлениями полной группы вращений и компонентами момента количества движения в квантовой механике. Для
52
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
14. II
наших целей достаточно указать, в заключение этого раздела, что операторы бесконечно малых вращений Ix, /у, I1 связаны с соответствующими компонентами оператора количества движения соотношениями типа Jx = Mx и т. д. Представление при целом I соответствует (2/ + 1) вырожденным состояниям с квадратом орбитального момента, равным 1(1 + \)Ь2; полуцелые двузначные представления связаны с наличием спина (последнему отвечает представление D<,/2>). Партнеры в базисе представления суть вырожденные собственные функции, которые одновременно представляют собой собственные функции оператора момента количества движения.
Литература
1. Г. Гол детей н, Классическая механика, Гостехиздат, 1957.
2. Б. Л. В а н - д е р-В а р д е н, Метод теории гр>пп в квантовой механике, Харьков, 1938.
