Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
301
поверхности ячейки граничным условиям (ГУ), накладываемым точечной симметрией и периодичностью кристалла. В рассматриваемом приближении взаимодействие валентных электронов с ядрами и с электронами остовов описывается обычным (должным образом подобранным) потенциалом V. Вследствие высокой симметрии и почти полной электрической нейтральности соседних ячеек их вклад в этот потенциал полагается равным нулю.
С целью сохранения математической простоты потенциал V считается сферически симметричным, что оправдано [1, 2] в силу высокой симметрии системы. При этом переменные в уравнении Шредингера разделяются в сферических координатах, и одно-электронную собственную функцию можно представить в виде
Здесь суть сферические гармоники (СГ), a Ri(E, р)—решения радиального уравнения, параметрически зависящие от энергии системы Е. В принципе постоянные коэффициенты Ai, Cim и энергию E можно выбрать так, чтобы удовлетворить требуемым ГУ на поверхности ячейки. (Разделение коэффициентов разложения на Ai и C/w, разумеется, в значительной степени произвольно, однако, как будет видно из дальнейшего, это весьма удобно.)
Бесконечный ряд (1) был преобразован Слэтером [3] к виду, более удобному для конкретных расчетов. Слэтер предположил, что все коэффициенты Cim обращаются в нуль, когда число / превосходит некоторое заданное значение. Тогда, конечно, уже невозможно удовлетворить ГУ на всей поверхности примитивной ячейки. Поэтому Слэтер выбрал некоторые специальные точки на поверхности ячейки, в которых он добивался выполнения ГУ, подбирая должным образом отличные от нуля коэффициенты Cim. Такой подбор проводился для произвольного волнового вектора ft*). Однако Шокли [4] показал, что метод Слэтера приводит к большим ошибкам уже для модели «пустой решетки», для которой зависимость энергии ? от ft известна точно. Отсюда был сделан вывод [4], что фактически необходимо использовать значительно больше членов ряда (1), т. е. коэффициентов С1т в расчетах Слэтера.
Цель настоящей работы заключается в том, чтобы включить в расчет коэффициенты Cim со значительно большими / без увеличения его трудоемкости. Это можно сделать для собственных
*) Предполагается, что волновые функции t|> приведены к блоховскому виду, т. е. ф=*ыА(р)ехр • р)? где Л — приведенный волновой вектор, а функция ик (P) периодична с периодом кристаллической решетки.
(D
302
Ф ФОН ДЕР ЛАГЕ, Г A .BFTE
функции в определенных точках ^-пространства (пространства приведенного волнового вектора), имеющих особенно высокую симметрию, а именно, в точках, обладающих полной симметрией кубической решетки, или в точках, лежащих на осях ил и плоскостях симметрии. Свойства симметрии волновых функций в таких особых точках fe-пространства рассматривались в работе [5]. Наш метод состоит в построении линейных комбинаций
т
обладающих правильной симметрией в соответствии с требованиями работы [5]. Мы будем называть эти комбинации кубическими гармониками (КГ). Правильный выбор коэффициентов A1 в разложении (1) обеспечивает выполнение ГУ; заметим при этом, что ГУ надо удовлетворить только на нескольких гранях поверхности ячейки, тогда они будут автоматически удовлетворяться и на ряде других граней в силу симметрии системы. Используя только три или четыре коэффициента Ai1 мы можем, вообще говоря, включить в рассмотрение члены со значениями /<^6, что потребовало бы учета 49 коэффициентов в методе Слэтера.
Фактические расчеты выполнены в данной работе только для двух высокосимметричных точек k = (O1 0, 0) и к — (O1 0, я/а) для объемноцентрированной кубической решетки. Метод был проверен в предельном случае «пустой решетки» [4], для которой значения энергии E известны точно. Результаты проверки с помощью «пустой решетки» (ППР), проведенной для нескольких собственных функций, превзошли все ожидания, поэтому метод был использован для нахождения соответствующих собственных функций и собственных значений для натрия.
Метод построения собственных функций — кубические гармоники
Каждому волновому вектору к отвечает некоторая группа преобразований симметрии*), оставляющая его инвариантным. Для двух рассматриваемых нами векторов ft, (0, 0, 0) и (0, 0, я/а), группы волновых векторов совпадают с полной кубической группой симметрии. Собственные функции можно классифицировать в соответствии с неприводимыми представлениями группы волнового вектора, определяющими их трансформационные свойства при преобразованиях симметрии. Каждое неприводимое пред-
*) Определение понятия «группа волнового вектора k» дано в работе [5].
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ II СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
303
ставление отвечает «типу» функций. Для кубической группы, например, имеется 10 различных типов (см. ниже). Для каждого типа можно найти различные «наборы» КГ, которые преобразуются по представлению, характеризующему тип. Под набором мы понимаем совокупность функции, преобразующихся друг через друга при преобразованиях симметрии группы волнового вектора к. В набор входят только функции с одинаковыми индексами / и, разумеется, того же самого типа. Не все типы функций соответствуют заданному значению / и не все числа / встречаются в наборах для функций данного типа.
