Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
. Полагая Р' = Р-р-1 и Q' = Q - а• 1, будем иметь
_i!?Llm(/>'<p, Q/cp) = I (Я'ср, Q'cp)|=|[P'cp|| ¦ IIQ'cpll.
Согласно теореме 1. из II. 1, второе уравнение означает, что Р'ер и Q'cp
отличаются друг от друга лишь на постоянный множитель,
и поскольку из ||Р'ер|| • HQ'cpll^---> 0 следует, что Ргу>фО и
Q'<? ф 0, то должно быть P/cp = c-Q,cp, сф 0. Первое уравнение означает,
что (Р'ер, Q'cp) = с-1|Qrcp||2 чисто мнимо и даже что коэффициент при I
имеет тот же знак, что и у (вещественного!),
т. е. противоположный знаку а. Итак, c - iy, у вещественно и ig-0 в
зависимости от того, у5§;0. Следовательно,
(Gl.) Р' ср =/у Q'cp, у вещественно и 5=; 0 для ta^ 0.
Определение рис требует еще, чтобы было (Р'ср, ср) = 0 и (Q'f, <р) = 0.
Но поскольку из (GI.) следует, что (Р'ср, ср) = iy (Q'cp, ср), где слева
стоит нечто вещественное, а справа - нечто чисто мнимое, то оба эти
уравнения выполняются автоматически. Нам еще осталось определить е и т).
Имеем
176 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. III
поэтому, так как е и tj оба положительны,
1 Г I в М 7 I 1 Г \а\
e==V 2- • ^]/ тутг'
В случае квантовой механики а = -^ и мы получаем из (U.) (U.')
Можно обсудить и соотношение (01.) для того случая, когда Р, Q являются,
например, операторами теории Шредингера: Р =
= ~2кГ ~dq ''' ' Q -?•••• (Ср. 1.2, мы принимаем, что рассматривается
механическая система с одной степенью свободы, ее единственной
координатой является q.) Тогда (01.) дает
где из-за 1а - > 0 if > 0. Поэтому
dq
т. е.
Q
2"
д ( 2я , 2я . 2л .)
- = {-'jrw4-FT" + lrp/}'
(р п=х е
/г 2тс 2т: 2т: .
{-JW+T
т:у 2тсу 2т:р т:^ 2т:р
(г_о)2+__ iq
Благодаря f > 0 оказывается, что ||<р||2 = J |<p(<7)|2rf<7 в самом деле
СО
конечно, и С' определяется из условия ||<р|| = 1:
4]
СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
117
Поэтому, пренебрегая не имеющим физического смысла множителем
ч I
модуля 1, найдем, что = , т. е.
в и т} мы уже знаем:
"=/?•
Поэтому, если отвлечься от условия e7}=-jt, они, пока f меняется от 0 до
пробегают все значения, т. е. любой набор из четы-
рех величин р, о, е, т), удовлетворяющих условию ет) = -^-, реализуется в
точности в одном состоянии ср. Впервые такие состояния ср были
исследованы Гейзенбергом и применены для разъяснения квантовомеханических
соотношений - они исключительно удобны для этой цели, так как дают
наивысшую возможную (в квантовой механике) степень приближения к
соотношениям классической механики (где ни р, ни q не имеют дисперсии!) и
так как е и tj можно придать по произволу приписанные значения (ср.
ссылку в прим. 131) на стр. 174).
Наши предыдущие соображения относятся лишь к одному, а именно
формальному, аспекту соотношений неопределенности; для полного понимания
этих соотношений необходимо еще рассмотреть их с другой точки зрения: с
точки зрения непосредственного физического опыта. Действительно,
соотношения неопределенности стоят к нему в более прозрачном и более
простом отношении, чем многие другие факты, на которых была основана
квантовая механика, и потому заслуживают большего, чем приведенное выше
чисто формальное доказательство. Наглядное обсуждение тем более
необходимо, что на первый взгляд могло бы даже возникнуть впечатление,
что мы сталкиваемся здесь с противоречием со здравым смыслом: ведь без
дальнейшего обсуждения непонятно, почему нельзя было бы измерить
положение и скорость (т. е. координату и импульс) материального тела
одновременно и со сколь угодно большой точностью, если только есть
достаточно тонкие измерительные средства. Поэтому надо сделать совершенно
ясным, путем подробного анализа тончайших процессов измерения
(осуществимых, возможно, лишь в смысле мысленных экспериментов), что это
не так. Более того, хорошо известные законы волновой оптики,
электродинамики и элементарных атомных процессов ставят непреодолимые
трудности на пути точного измерения как раз там, где того требует
соотношение неопределенности. Дело обстоит даже так, что в этом можно
убедиться, еще рассматривая упомянутые процессы чисто классически (не
квантово-
12 И. Нейман
178
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
(ГЛ. III
теоретически!). Это обстоятельство имеет принципиальное значение, так как
показывает, что в классической, обоснованной независимо от справедливости
квантовой механики, области (т. е. там, где квантовые
явления еще не требуют существенных поправок к старому способу
рассмотрения, - значит, единственно непосредственно доступной нашему
наглядному восприятию 132)) мы не вступаем в противоречие ^ с
парадоксально звучащими соотно-
шениями неопределенности квантовой механики.
Нам следует, таким образом, показать, что если р и q являются двумя
канонически сопряженными величинами и система находится в состоянии, в
котором значение р может быть задано с ' точностью е (т. е. измерение р
допустимо с ошибкой в пределах е), то значение q
нельзя узнать с точностью, превосхо-h
ДЯЩеЙ 7}:
2я
: е. Иными словами, из-
Рис. 1.
h
мерение р с точностью е вносит неоп-h
