Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
из \У. и ?2* из Е\..
Если обозначить оператор величины Z-' (91) через S, то сравнение Е\. с
Ег. даст нам
(¦Sep, ср) = (F (R) ср, ер)
для любого состояния ср, т. е. для всех ср с ||ер||= 1. Следовательно, и
вообще
(Sf, f) = (F(R)f, f)
^для / = 0 это очевидно, а в остальных случаях ср зна-
чит, также
(Sf, g) = (F(R)f, g)
^заменить / на -^g и на - и результаты вычесть - получим равенство
вещественных частей; беря If, g вместо /, g - мнимых
154
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. III
частей). Таким образом, должно быть S = F (R). Сформулируем этот важный
результат отдельно.
(F-) Если величине 91 соответствует оператор R, то величине F ($Я) должен
соответствовать оператор F(R).
В предположении F., однако, Е\. очевидным образом следует из Еч. •
Поэтому (предполагая F.), Е\. и Еч. являются эквивалентными
утверждениями. Покажем, что они эквивалентны также и W.. Поскольку они
следуют из W., то остается лишь убедиться, что W. следует из Е\. или из
Еч..
Пусть R1,..., Яг- взаимно коммутирующие операторы, принадлежащие
соответственно величинам 91,, .... 91*. Согласно 11.10, они являются
функциями одного эрмитова оператора R:
Примем, что R также принадлежит некоторой величине 91. (Этим самым
допускается, что любой величине 91 принадлежит некоторый
[гипермаксимальный] эрмитов оператор R и наоборот. Ср. прим. ш) на стр.
151 и раздел IV. 2.) Тогда благодаря F.
Допустим теперь, что /р .... /г - интервалы, о которых говорится
Если 9lj лежит в /у, т. е. Fу (91) лежит в /у, то Оу^у (91)) равняется 1;
в остальных случаях оно равно 0. Таким образом,
(25 = Я(91) равно 1, если все 91 у лежат в своих /у (J = 1, .... /),
в остальных случаях - это 0. Математическое ожидание <2> равно,
стало быть, вероятности W того, что 91, лежит в /,, .... 91г лежит
в /г. Отсюда
Обозначим снова разложение единицы, относящееся к Яу, через Ду(Х),
R 1 = ^1 (Я) Яг = ^(Д)-
91, = , (91), .... 91г = Ft (91).
в W., и
1 для X из /у,
0 для X вне /у
Положим
и образуем величину
<$ = //(91).
W - Erw (<$, ср) = Щ (R) ср, ср) =
= (G, (F, (Я)) ... О, (Ft (R)) ср, ср) = (О, (Я,) ...а1 (Я,) ср. ср).
и пусть /у - интервал {Ху, Ху]. Тогда , на основании сказанного
2]
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
155
в конце II. 8, в принятых там обозначениях
°ДХ) = V(Х) - V (Х)>
' ХУ
Qj (Rj) = с.,, (?,) - (?,.) = Ej (х}) - Ej (X}) = Ej (/,)
к, значит,
U7 = (?,(/,)... ?; (/,)?, ?).
Но это как раз и есть W..
Вследствие простоты формулировки, утверждения ?2* и ^ 0С0' бенно удобны
как основа, на которой строится вся теория. Мы
видели, что наиболее общее возможное вероятностное утверждение WA следует
из них, но утверждение обладает двумя замечательными
особенностями:
1. W. является статистическим, а не причинным утверждением, т. е. из него
не следует, какие значения принимают величины Dtj 91г в состоянии ср, но
лишь с какими вероятностями эти величины принимают все возможные
значения.
2. На вопрос в постановке, свойственной W., нельзя ответить для
произвольных величин 9tlf ..., но только для
таких, для которых соответствующие операторы Rv ..., Rt коммутируют друг
с другом.
Обсудить значение этих двух фактов будет нашей ближайшей задачей.
2. Статистическая интерпретация
Классическая механика представляет собой причинную дисциплину, т. е. если
состояние описываемой ею системы известно со всей подробностью,-для чего
в случае k степеней свободы необходимо задать 2k чисел: k координат
qx...............................................qk конфигурационного
про-
л д<*1 д<*ъ
странства и k их производных по времени ~, ..., -^ или же,
вместо последних, k импульсов рл, ..., р,-то значение любой физической
величины (энергии, момента и пр.) можно определить единственным образом и
численно точно. Несмотря на это, существует и статистический метод
исследования классической механики, но он является, так сказать, лишь
роскошью или приправой. А именно, если нам известны не все 2k фиксирующих
состояние параметра
(<7j qk, рх Ръ), но лишь часть из них (причем даже эти
последние могут быть известны не точно), то можно, усредняя каким-нибудь
способом по параметрам, оставшимся неизвестными, сделать по крайней мере
статистические утверждения относительно
всех физических величин. Это же справедливо и для прошлых или
будущих состояний системы: если известны qx, .... qk, рх рк
156
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. III
в момент t - t0, то с помощью уравнений движения классической механики
можно (причинным образом) вычислить состояние в любой другой момент t\ но
если известны лишь некоторые из параметров, то надо усреднить по
остальным, и о состояниях в другие моменты времени120) можно делать уже
лишь статистические утверждения.
Статистические утверждения, с которыми мы сталкиваемся в квантовой
механике, имеют другой характер. Здесь в случае k степеней свободы
состояние описывается волновой функцией ср^, .... qk), т. е. точкой ср
надлежащим образом реализованного 91^(11911=1- численный множитель
