Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
оо, между тем хорошо известно, что это невозможно 57). Следовательно, Е.
также независимо от А. - С.(оо>, D..
(В заключение следует отметить фундаментальную разницу между
СО
пространством функций f (х) с конечным интегралом I \f(x)\2dx
- СО
и пространством функций х (а) с конечной суммой 21 х (а) I2- Мы
а
могли бы, конечно, с равным правом называть первое пространством
СО
всех х (а) с конечным J da\x (а) |2! Вся разница - это только замена
- СО
J ... da на ^ ..., и, несмотря на это, первое пространство есть
а
Eq, оно удовлетворяет, следовательно, условиям А.-Е., и изоморфно
пространству SRco, в то время как второе -SRcont нарушает условие Е. и
отличается от SRoo существенным образом. И тем не менее оба пространства
тождественны и отличаются только определением длины !)
4. Замкнутые линейные многообразия
Важность § II. 2 для нас определяется не только доказательством
изоморфизма, но также и тем, что там были доказаны теоремы об
ортонормированных системах. Мы хотим теперь продвинуться дальше в
рассмотрении геометрических свойств пространства Гильберта и детально
изучить замкнутые линейные многообразия, которые играют в SRoo роль,
аналогичную роли прямых линий, плоскостей и т. д. (иными словами, SRm,
т^п) в SRn.
Напомним прежде обозначения, введенные в определениях 2. и 5.: если ЭД
есть какое-либо множество в SR, то (ЭД) или [ЭД] суть
6Г) Эта теорема теории множеств о "неперечислимости континуума", Смотри,
например, книгу Хаусдорфа, указанную в прим. ,|5), стр. 41).
4]
ЗАМКНУТЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
61
линейное многообразие или замкнутое линейное многообразие соответственно
растягиваемое 91, иными словами, наименьший представитель каждого из двух
типов многообразий, содержащий 91. Расширим теперь эти обозначения в том
смысле, что если 91, 23, ... - какие-либо подмножества 81, a f,g,... -
элементы из 81, то мы будем понимать под {91, 23....../>/?••••} или [91,
23, .... /, g, ...] ли-
нейное многообразие или замкнутое линейное многообразие соответственно,
натянутое на множество, получающееся соединением 91, 23, ... и f, g, ...
Если, в частности, , 91, . . . суть замкнутые линейные многообразия (в
конечном или бесконечном числе), то мы будем обозначать замкнутое
линейное многообразие [891, 9?, ...] символом 891-{-91 + . .. Линейное
многообразие {891, 9?, ...} состоит, очевидно, из всех сумм / + ?¦+... (/
- пробегает 891, g пробегает 91, ...), в то время как, замкнутое
многообразие [891, 91, ... ] = 891 +91+.. . получается из незамкнутого
присоединением всех его предельных точек. Если мы имеем лишь конечное
число множеств 891, 91, . . . и каждый элемент одного из них ортогонален
всем элементам других, то, как мы увидим, эти два образования равны одно
другому. В общем случае они совпадают не обязательно.
Если 891 есть подмножество 91, то рассмотрим еще совокупность всех
элементов 91, ортогональных ко всем элементам 891. Они тоже составляют
замкнутое линейное многообразие, которое может быть названо 91 - 891.
Теорема 14. объясняет причину такого обозначения в виде вычитания. Особый
интерес представляет собою множество 81 - 891 всех /, ортогональных ко
всему 891. Оно называется замкнутым линейным многообразием,
дополнительным к 891.
Наконец, упомянем три особенно простых замкнутых линейных многообразия:
во-первых, само 81; во-вторых, множество {0} = [0], состоящее лишь из
нулевого элемента, и, наконец, множество всех af (/-заданный элемент из
81, а а - переменная), которое, очевидно, представляет собой замкнутое
линейное многообразие и, следовательно, одновременно равно {/}¦=[/].
Введем теперь понятие "проектирования", совершенно аналогичное этому
понятию в евклидовой геометрии.
Теорема 10. Пусть 891 есть замкнутое линейное многообразие. Тогда каждый
f может быть разделен одним и только одним способом на две компоненты
/===§• + h, g из 891 и h из 81 - 891,
Замечание. Назовем g проекцией / на 891, h (которое ортогонально ко всему
891) нормальной к 891 составляющей /. Для g введем обозначение g=*Pwf-
Доказательство. Пусть <pj, tp2> • • • -ортонормированная система,
существующая в силу теоремы 9., растягивающая замкнутое линейное
62
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
многообразие 3W. Запишем g в виде ряда g = 2 (/. <рл) <рл> кото-
П
рый, по теореме 6., сходится (если он вообще бесконечен); его сумма g
очевидно принадлежит к 3W. Далее, по теореме 6., h = /-g ортогональна ко
всем cpj, ср2, но поскольку векторы, ортогональные к h, образуют
замкнутое линейное многообразие, то вместе с cpj, tf2, . . . все 3W тоже
ортогонально А, т. е. Л принадлежит
к т - т.
Если бы существовало еще одно такое разложение f = g'-\-h',g' из 3W, Л'из
9t-2)1, то было бы g-\-h = g'g-g'=h-h'=j. Вектор j должен был бы
одновременно принадлежать к SW и к SJt-SW и был бы, следовательно,
ортогонален сам себе. Следовательно, (у, у) = 0, / = 0 и, значит, g = g\
h = h'.
Операция Яда/ есть, следовательно, такая, которая сопоставляет каждому /
