Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
двойственность оправдана 207). При этом, однако, возникает опасность
нарушения принципа психофизического параллелизма, если только мы не
покажем, что (понимаемую в указанном выше смысле) границу между
наблюдаемой системой и наблюдателем можно смещать произвольным образом.
Чтобы обсудить последний вопрос, разделим мир на три части /, II и III.
Пусть / означает собственно наблюдаемую систему, II - измерительный
инструмент, а III-собственно наблюдателя 208). Нам надо показать, что
границу можно провести с равным успехом как между / и //-)-///, так и
между / -J- // и III. (В приведенном выше
207) N. Bohr (Naturwlss. 17(1929)) первый указал как на то, что возникшую
в результате открытия квантовой механики с формальной точки зрения
неизбежную двойственность в описании природы можно оправдать и с точки
зрения природы вещей, так и на связь с принципом психофизического
параллелизма. .
208) Последующие рассуждения, равно как и дискуссия в V1.3, содержат
существенные элементы, за которые автор должен быть благодарен разговорам
с Л. Сцилардом. Ср. также аналогичные рассуждения у Гейзенберга (прим. ш)
на стр. 262).
21
СОСТАВНЫЕ СИСТЕМЫ
309
примере при сравнении первого и второго случаев / соответствовало
исследуемой системе, II- термометру, а III - системе свет-f- наблюдатель;
при сравнении второго и третьего - / соответствовало исследуемой системе
+ термометр, II - свету + глаз наблюдателя, III - наблюдателю, начиная от
его сетчатки; при сравнении третьего и четвертого случаев / - всему,
вплоть до сетчатки наблюдателя, II - его сетчатке, нервам и мозгу, III -
его абстрактному "Я".) Это значит, что один раз надо применить 2. к /, а
/. к взаимодействиям между / и 11111, а другой раз - 2. к / + //, а I. -
к взаимодействиям между / + // и III. (Само III остается каждый раз вне
рассмотрения.) Доказательство того, что оба пути приведут к тем же самым
утверждениям относительно части / (она и только она принадлежит оба раза
к наблюдаемой части мира), и составляет, собственно, нашу задачу.
Однако, чтобы быть в состоянии успешно заняться ею, нам надо будет сперва
более подробно исследовать процесс объединения двух физических систем в
одну (который ведет от / и II к I-\-П).
2. Составные системы
Рассмотрим, как было намечено в конце предыдущего параграфа, две
физические системы I ч II (они не обязательно должны иметь обсуждавшийся
там смысл) и получающуюся их объединением систему I-\-П. Пусть с точки
зрения классической механики система / обладает k степенями свободы,
следовательно, координатами q1 qk,
вместо которых мы ради краткости будем писать одну букву д. Система II
пусть обладает соответственно I степенями свободы, описывается
координатами гх, . ги сокращенно г. Тогда у системы I-\-П будет k-\-I
степеней свободы и ей будут соответствовать координаты qk, г j rt,
сокращенно д, г. При квантовоме-
хзническом описании волновые функции / будут тогда иметь вид ер (д),
системы II - $(/¦), а системы / -|- // - Ф (д, г). Внутреннее
произведение в соответствующих гильбертовых пространствах SR7, 9t77 и
9t/+//
естественно определить как J' ер (д) ф (q) dq или j' ij (г) -ц (г) dr,
или
j j Ф (q, r)W(q, r)dqdr. В соответствии с этим физические величины систем
I, II и III будут (гипермаксимальными) эрмитовыми операторами А или А,
или А в SK7, или в 9t77, или в 91/+77.
Каждая физическая величина в / является, конечно,, такой и в системе / +
//, и при этом ее оператор А получается из А следующим образом: чтобы
получить АФ(^, г), следует считать г постоянными и применить А к ^-
функции Ф(^, /-) 209). Это правило сопоставления,
го9) Можно легко показать, что оператор А будет одновременно с А
эрмитовым или гипермаксимальным.
310 ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ [ГЛ. Vi
во всяком случае верно для операторов координат и импульсов {Qp • • • •
Qh и Pv .... Pk, т. е., ср. 1.2, qv ..., qk, > • • •
и находится в согласии с общими принципами сопоставления /. И II. из
IV.2210), поэтому мы постулируем его и для общего случая. (В квантовой
механике оно общеупотребительно.)
Точно так же каждая физическая величина в II является такой и в / + //, и
ее оператор А приводит к ее А по тому же правилу: А Ф (?, г) равняется
ЛФ(?, г), если при образовании последнего выражения рассматривать q как
постоянные и Ф (q, г) - как г-функцию.
Если <pm(q)(m=l, 2, ...) образуют полную ортонормированную систему в Э^,
а %п(г)(п= 1,2, ...) -такую систему в Шп, то функции Фт1п (?, r) =
ym{q)%n{r) (т, п= 1, 2, ...) составят, очевидно, такую же систему в Шг+И.
Тогда операторы А. А или А можно будет представить матрицами (а т/т'} или
[anjni} или {атл/т/"/} (т, т',п, п'= 1, 2, ...)2П), к чему мы будем ниже
часто прибегать. Матричное представление означает, что
ОО ОО
А<Рт (?) == S Эт/т'<Рт' (?)* А?я == 2 #л/л'5л'(е) mf = 1 л/ = 1
АФтл(?> г)- 2 атл/т'л'Фт'л'(?' т>, л'=1
Т. е.
А <Рт (q) \п (Г) = 2 Ятп!т'п"?т' (q) 5л' (г).
т', л' = I
В частности, сопоставление А->-А устанавливает, что
