Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6. Логическая структура геометрии
До сих пор мы рассматривали систему элементарной геометрии как эмпирическое учение. Мы видели, что представление о глобальном пространстве возникло на основе восприятий из нашей локальной окрестности. Для нас было важно выяснить прежде всего те обстоятельства, которые привели к пониманию евклидова характера естественного взгляда на пространство.
Что касается внутренней, логической структуры элементарной геометрии, то мы временно оставили ее без всякого внимания. Этот Еопрос, а также другие с ним связанные вопросы составляют предмет математического изучения геометрии ').
1J Здесь автор противопоставляет геометрию как математическую дисциплину той же геометрии как главе физики, (Сравните с вводной статьей к указанной па стр. 223 книге [2].)—Прим. ред.
39
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
Выше (стр. 12—13) мы уже видели, что на эмпирической ступени изучения геометрии ее положения выступают как независимые, не связанные один с другим эмпирические «законы природы». Поясним это с помощью еще одной теоремы Евклида:
5. Три медианы треугольника, т. е. отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противолежащих сторон, пересекаются в одной точке.
Для того чтобы эмпирически проверить правильность этой теоремы, начертим треугольник ABC (рис. 4),
разделим его стороны AB, BC и CA пополам и соединим их середины С', А' и В' с противолежащими вершинами С, А и В. Тогда мы увидим, что полученные таким способом прямые — медианы треугольника — действительно проходят через одну и ту же точку О1). Это обстоятельство в какой-то мере примечательно, так как три произвольные прямые в общем случае не обладают свойством проходить через одну и ту же точку.
Получила ли рассматриваемая теорема надежное эмпирическое подтверждение? Даже если не считать обстоятельства, отмеченного в сноске, в этом можно сомневаться по следующей причине. Выполненный эксперимент подтвердил правильность теоремы 5 на основе вычерченной вполне определенной по форме и размерам фигуры. He может ли случиться, что положительный результат получен случайно только для вычерченной фигуры? В самом деле, этот единичный эксперимент еще не гарантирует, что тем же самым свойством обла-
’) В этом мы убеждаемся только с точностью, обеспечиваемой нашими зрительными восприятиями. В связи с этим напомним сказанное в § 1 настоящей главы относительно пределов точности таких наблюдений.
40
§ 6. ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ГЕОМЕТРИИ
дают все возможные треугольники независимо от их размеров и формы. Для того чтобы отклонить это явно обоснованное сомнение1), эксперимент повторяется для еще одного треугольника. Чем больше будет число различных использованных треугольников, для которых правильность теоремы экспериментально подтверждается, тем больше будет уверенность, что рассматриваемая теорема представляет собой закон, правильный в о всех случаях.
Такой прием доказательства рассматриваемого утверждения основан на индуктивном методе эмпирического исследования. Если какое-либо явление природы при заданных одинаковых условиях всегда вновь повторяется, то оно рассматривается как выражение неизменного закона природы, верного во всех случаях, хотя это индуктивное заключение не безусловно обязательно. В самом деле, даже если рассматриваемое правило подтверждается во многих отдельных случаях, все же не имеется гарантии, что новые опыты опять подтвердят это правило. Следовательно, индуктивный метод только показывает, что правило вероятно, но не абсолютно верно. Индукция и связанное с ним понятие вероятности лежат в основе серьезных философских проблем и широких математических исследований (так называемой теории вероятностей). В рамках нашего изложения у нас нет возможности останавливаться на этих вопросах.
С точки зрения постановки нашего вопроса гораздо важнее другое обстоятельство. Для того чтобы доказать всеобщую правильность рассмотренной выше геометрической теоремы, вовсе нет необходимости прибегать к экспериментальной эмпирической проверке. В самом
!) Если кто-нибудь стал бы утверждать, что площадь квадрата, построенного на наибольшей стороне треугольника, равновелика сумме площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, то такое утверждение могло бы оказаться правильным, если бы начерченный треугольник случайно был прямоугольным. Однако для любого косоугольного треугольника это утверждение будет уже неверным. В таком треугольнике квадрат наибольшей стороны а равен сумме квадратов двух других сторон бис, уменьшенной на удвоенное произведение стороны с и проекции стороны b на с (обобщенная теорема Пифагора),
41
ГЛ. [. ПРОСТРАНСТВО
деле, как показал уже Евклид, эта теорема может быть доказана с помощью некоторых других теорем или точнее: если только что упомянутые другие теоремы предположить правильными, то из них можно вывести теорему 5 логически, не прибегая к каким-либо опытам или эмпирическим наблюдениям. Таким образом ненадежная эмпирическая индукция заменяется пригодны?.! EO всех случаях и надежным методом логической, или математической, дедукции.
