КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
равномерна во всей компактной области, т. е.
c~1dm(y) ^ dm(ж) ^ cdm(y) для ж, у ? BR,
где с ^ 1 зависит от R, а не от то. Это следствие неравенства Харнака для
функций из класса де Джорджи, что было получено ди Бенедетто и
Трудингером [4].
Все эти утверждения, описанные для рационально независимых "1, ... , ап,
-1 верны при а ? \ Qn, т.е. не рациональных векто-
ров а. Случай рациональных а, который всегда содержит компактные листы,
не будет рассматриваться в этой работе.
Глава 2
239
г) В случае А) слоение описывается с помощью непрерывной функции U =
U(x, в), удовлетворяющей условиям периодичности (5.3), которая строго
монотонна по в. Кроме того, т. к.
и(х) = U(x, (а, х) + const)
являются минималями, U(x, в) удовлетворяет дифференциальному уравнению
Y,DvFPv{x, U, DU) = Fu(x, U, DU),
я я (5'9)
Г) _ О I и_
" ~ дх"а"дв'
И обратно, любое решение этого дифференциального уравнения,
удовлетворяющее ранее упомянутыми условиям периодичности и монотонности,
приводит к минимальному слоению, соответствующему а ? Ж(tm).
В случае В) две функции U+, U~, которые различаются только на множестве
нулевой меры, удовлетворяют этому же условию, но они не являются
непрерывными по в. Если нам потребуется, для определенности,
полунепрерывность сверху по в, то выберем функцию U+.
Теорема 5.3. Для заданного а ? 1"\ существует функция U = U(x, в) в Rn+1,
которая строго монотонна, полунепрерывна сверху по в для фиксированного
х, такая, что U(x, (а, х) + const) является дважды непрерывно
дифференцируемой, удовлетворяет (5.9) и условию периодичности (5.3);
причем все и ? Ш^ес, кроме счетного множества, представлены в виде
и(х) = U(x, (а, х) + const).
Из нашего построения и теоремы 5.1 становится ясно, что U однозначно
определена. Случай А) соответствует непрерывной U, а случай В) -
разрывной U. В этом случае отображение (5.5) не является гомеоморфизмом
Жга+1 на себя, но является гомеоморфизмом Жга+1 на дополнение к множеству
(5.8).
Теорема 5.1 показывает, что наша задача определения (r)1^ес сводится к
нахождению слабого решения U ранее упомянутого дифференциального
уравнения в частных производных (5.9) с условием периодичности и
монотонности. Альтернативный способ нахождения этого решения U, а
следовательно, и будет описан в главе 4.
240 Минимальные слоения на торе
д) Описание слоения в терминах 1-формы. В случае А) непрерывная
функция U = U(x, в) = xn+i имеет обратную в = Z(x), монотонную по xn+i,
такую, что Z(x) - xn+i имеет период 1 по всем переменным. Таким образом,
рассматриваемое слоение задано как множества уровня функции
z(x) = (а, х) - Z(x) или в терминах замкнутой 1-формы (в смысле
распределений)
П
ш = dz = av dxv - dZ.
V = \
Ее периоды на окружностях = {х = tev, 0 ^ t ^ 1} на Тп+1 заданы
соотношением
J ш = z(x + е") - z(x) = av (и = 1, ... , п + 1)
lv
где ап+1 = -1. Более того, функция z строго монотонна по xn+i. Это
описывает слоение в более привычном виде в терминах 1-формы и проявляет
его голономию. В случае В) функция z(x) будет константой на множестве
(5.8).
Глава 3
Сохранение и разрушение гладкого слоения
§ 6. Теорема устойчивости
а) Нас интересует следующий вопрос: какой из двух случаев А) или В)
возникает в данной ситуации. В частности, если вариационная задача
зависит от параметра, как, например, в (2.3), что может быть сказано о
существовании гладкого слоения в зависимости от такого параметра. Для
этого частного примера, данного в § 2, (2.3) Бангертом было доказано [2],
что для любого положительного числа А существует грань А* (А) такая, что
для А > А*(А) не существует непрерывного слоения при |а| ^ А. Другими
словами, для всех а 6 Мга, |а| ^ А, множества являются канторовыми
множествами, а функции, построенные в § 5, имеют разрывы. С другой
стороны, при достаточно
Глава 3
241
малых |А| существуют гладкие минимальные слоения для этого примера (2.3),
что гарантирует следующая теорема. При этом для любого фиксированного А
можно построить гладкое минимальное слоение при определенных а с
достаточно большим |а|. Таким образом, ситуация очень сложная и общего
ответа не следует ожидать. Однако можно получить простые геометрические
критерии, которые являются достаточными условиями для несуществования
непрерывных слоений. Но сначала мы обсудим прямо противоположный случай с
гладкими слоениями.
б) Начнем с теоремы о возмущении, подобной теореме 1.1. Чтобы
сформулировать результат, предположим, что подынтегральное выражение F =
F(x, р) удовлетворяет условию периодичности (I) и условию Лежандра (II) и
(1.8). Однако никакого условия роста (такого как (1.8) (III)) не нужно.
Вместо него потребуем
F е с°°(12),
где 12 - открытая область в (Тп+1 х М") с 7Ti12 = Tn+1, где тг±(х, р) = =
х. Предполагается, что проекция 12 на р-направление ограничена. Кроме
того, предположим, что 12 инвариантно относительно переносов (ж, р) -> (ж
+ j, р) для всех j G Zn+1.
Предположим, что F = Fx G С00 (12) непрерывно зависит от вещественного
