КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
функций и = и{х) рассмотрим действие группы G = Ъп+1 переносами
(tju)(x) = и(х + j) - jn+1 для j = (j, jn+1) ? Zn+1. (4.1)
Основываясь на обсуждении в конце § 1, дадим следующее
Определение 4.1. и 6 С(Ш.п) не имеет самопересечений, если орбита {Tju, j
€ Zn+1} вполне упорядочена, т. е. если для всех j Е Zn+1 при любом х Е
либо (tju)(x) - и(х) > 0, либо < 0, либо = 0.
230
Минимальные слоения на торе
Теорема 4.2. Если и € С(ЖП) не имеет самопересечений, то существует
вектор а € I" такой, что
Эта теорема является следствием стандартных результатов об отображениях
окружности (см. [17]). Приведем доказательство. Рассмотрим счетное
множество
и для к 6 Ъп определим отображение fk: Sx ->¦ Sx как перенос х на к
Кроме того, отображения fk, fl коммутируют для к, I € Z".
Для такого отображения / = fk известны следующие факты, взятые из теории
гомеоморфизмов окружности Данжуа (см. [17], приложение к разделу 2): а)
Предел
существует и не зависит от s. Это число а(к) называется числом вращения
fk.
(3) Для периодических функций fk(s) - s верно неравенство
sup |и(х) - (а, х)\ < ос.
Более того, при таком а мы имеем
Iu(x + j) - и(х) - (a, j) I ^ 1,
("> j) ~ Jn+i > 0 влечет и(х + j) - jn+1 - и(х) > 0.
(4.2)
(4.3)
Sx = {(tjU)(x), j е Ъп+1}
fk : и(х + j) - jn+1 -)• и(х + j + k) - jn+1.
Тогда, т. к. и не имеет самопересечений, получим
fk(s)<fk(sr) для s<s', s, s' ? Sx /*(* + !)=/*(*) + 1.
| fk(s) - s - a(k)| ^ 1 для всех s € Sx.
Глава 2 231
7) Для любых двух целых чисел р, q верно следующее утверждение: qa(k)
- р > 0 влечет fkq(s) - р - s >0 для всех s Е Sx. Другими словами, точки
{fkq(s); q Е Z} упорядочены на окружности М/Z также, как точки а(к) ¦ q.
Утверждения 0) и 7) преобразуются в (4.2) и (4.3). Чтобы доказать первое
утверждение теоремы 4.2, примем
д = {жекга, (4-4)
и выберем для данного х Е такой вектор j Е Z(tm), что х + j = у Е Q. Тогда
функция w(x) = и(х) - (а, х) удовлетворяет неравенству (4.2)
\w{y) - w(x)I ^ 1.
Следовательно,
|w(x) - w(0)| ^ |w(y) - w(0)| + 1 ^ oscw + 1.
Q
Из этого следует ограниченность w{x) и, что более точно, оценка
|и(х) - и(0) - (а, х)\ 0 1 + osc(и(х) - (а, х)). (4-5)
Q
Из-за связи с числом вращения для отображений окружности назовем вектор
наклона а также вектором вращения. ¦
в) Теперь предположим, что и является минималью вариационной задачи
(1.7).
Определение 4.3. Функция и Е H^(Rn) называется минималью задачи (1.7),
если выполняется условие (1.11).
Используя работу Джиаквинты и Джиусти о Q-минималях, можно заключить, что
эти минимали являются функциями непрерывными по Гельдеру. Для этого нам
требуются только условия (1.8) (I), (III), но не условие (II). Добавляя
это предположение (1.8) (II), можно установить, что минимали принадлежат
классу C2(ffira) и удовлетворяют уравнению Эйлера (1.10). Поэтому для
таких минималей получаем классический принцип максимума.
Предложение 4.4. Если и, v - две минимали, удовлетворяющие условию и 0 v
в открытой области 12 С М(tm), то либо и < v, либо и = v
в 12.
232
Минимальные слоения на торе
Семейство минималей инвариантно относительно переносов tj (см. (4.1)).
Сейчас рассмотрим класс минималей без самопересечений, который мы
обозначим Ш. Требование отсутствия самопересечений довольно
ограничивающее, как показывает пример интеграла Дирихле F = В этом
случае каждая гармоническая функция является
минималью, но только линейные функции принадлежат Ш. С помощью теоремы
4.2 можно связать с и ? Ш вектор а ? М(tm). Минимали, соответствующие а,
будут объединены в множество Ша. Так
sw = (Jswa (4-6)
а
является объединением непересекающихся множеств.
Прежде чем ответить на вопрос о том, верно ли, что Ша ф 0, получим
некоторые априорные оценки и свойства компактности. Доказательства см. в
[17].
г) Теорема 4.5. Существует константа с±, зависящая от F, такая, что
для любого и ? Ша выполнено неравенство
|и(х + у) -и{х) - (а, у)I ^ Сц/1+ \а\2. (4.7)
Здесь ci не зависит от а и и.
Кроме того, для всех |а| ^ А существуют положительные константы 7, е,
зависящие от F и А такие, что для всех и ? Ша выполнена оценка
\их\с- ^ 7- (4-8)
Первое неравенство, основа для всего следующего изложения, означает, что
график и находится на расстоянии ^ 2ci от гиперплоскости xn+i = (а, х) +
и(0). Это может рассматриваться как аналог теоремы Хедлунда [10] о
минимальных геодезических на двумерном торе. Его работа основана на
работе Морса [15] о таких геодезических на поверхностях более высокого
рода.
Для доказательства требуется, в соответствии с (4.5), оценка osc и,
Q
и она может быть получена с помощью работы Джиаквинты и Джиус-ти [7,8].
Они доказали, что минимали (даже Q-минимали) принадлежат к так
называемому классу де Джорджи, для которого могут быть получены
поточечные оценки (см. Ладышенская и Уральцева [12]). Доказательство
теоремы 4.5 смотрите в [17].
Глава 2
233
Самым важным следствием теоремы 4.5 является свойство компактности
минимали. Если ит ? Шат, \ат\ ф А последовательность минималей, для
