Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
приближения Джефриса (см. гл. 1, § 6). Уравнение, которому удовлетворяет
Gn, может быть записано в виде
d^ + f(r)Gn = О,
где
(Г>Л). (3.33)
По классической теории при наименьшем значении R, равном R0, имеем / (R0)
- 0. При г > R0 решение носит колебательный характер. При г < R0 может
быть найдено экспоненциально возрастающее или экспоненциально убывающее
решение. Нас инте ресует такое решение, которое убывает по мере
уменьшения
§ 5. ПРОНИЦАЕМОСТЬ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО БАРЬЕРА 75
при г < R0. Согласно приближению Джефриса, это решение имеет вид
R°r (3.34)
Gn=[^r] 1/4sin [4- 7Г + \ [/ (r)]1 ??г}(/->Д0).
Bo
Отсюда для вероятности проникновения имеем
[ш]1/,0хр { 2 5 [ -f^2 dr} * (3'35)
Во
Соотношение (3.35) фактически основано на двух различных приближениях.
Прежде всего при г < Я мы пренебрегли влиянием взаимодействия на волновую
функцию Ln, так что она выбрана в форме (3.28), применимой для чисто
кулонова поля. Повидимому, эта функция является хорошим приближением,
если степень проникновения мала. Следующее приближение заключается в том,
что функция (3.28) взята в приближении Джефриса. Пост, Уилер и Брейт [7],
исследовавшие точность этого метода, нашли, что, в то время как (3.35)
является в этом отношении хорошим приближением, точность решения на много
повышается в результате замены п(п + 1) в выражении для f(r)
на ("+4-)2 (см/ гл. VII, § 6).
Подставляя / (г) из (3.33), после интегрирования получаем
,'"= -aS(?+l-*)1'' + "[tt + 2"rcsm|i ] +
+ 2[л(Л + 1)]-/.41±^±^^=^]-|1Пт^, (3.36)
где
" f&**mZZ'eW\4i *2йа ге(п+1)
h* ) • *--=-pir И У= -
представляют собой соответственно отношения исходного значения
кинетической энергии и исходного значения вращательной энергии к высоте
барьера при r = R. Необходимо только заменить
в этой формуле п(п-f 1) на 0>+4У , если желательна более высокая точность
результатов.
Дисперсионные формулы для рассеяния кулоновым полем.
При выводе дисперсионной формулы (2.64) для сечения рассея-
76
ГЛ. III. РАССЕЯНИЕ ПУЧКА ЧАСТИЦ КУЛОНОВЫМ ПОЛЕМ
ния предполагалось, что, помимо силового поля, сосредоточенного в области
радиуса а, имеется еще дополнительное поле, потенциал которого постепенно
убывает с расстоянием и обращается на бесконечности в нуль быстрее, чем
г-2. Если дополнительное поле есть кулоново поле ZZ'e2/r, так что при г >
а функция, введенная в рассмотрение в гл. II, § 7, удовлетворяет
уравнению
^+[*._ = (3.37)
то мы можем попрежнему определить величину / с помощью соотношений (2.63)
и (2.64), однако G+ должно являться решением уравнения (2.37), имеющим
асимптотическую форму
G+ ~ ехр ? i (кг -mz - a ln 2кг) J , (3.38)
где а имеет тот же смысл, что и в § 4. Соотношение (2.66) при этом
сохраняется, но т)п теперь определено таким образом, что собственное
решение уравнения для движения с моментом коли-
1/2
чества движения, равным [/г (п +1)] %, в поле
V = ^(r>a), <3-39>
V -> со (г- а)
имеет асимптотическую форму sin ^кг-- a In 2kr-\-t\n). Мы имеем теперь
при г = а
/-С-йМед + ЧМ 1-.
где Ьп и Кп определяются соответственно соотношениями, приведенными выше
в § 4. Это дает [см. формулу (2.68)]
VI (3.40>
Z*(") + Lj*(a)
Для определения функций Кп и Ln мы можем использовать приближение
Джефриса. Если при г = а кулонова энергия отталкивания превышает исходное
значение кинетической энергии, то
fnl = [-^/(")]-1/4exp { ±{-/(г)1/^} ,
п> До
где / (г) определяется формулой (3.33). При малой "степени проникновения"
находим
I\ = ^Vp*l@.(e)l*,
где Рп удовлетворяет уравнению (3.35).
ЛИТЕРАТУРА
77
Сопоставление этого результата с формулой (2.69) для случая л = 0
показывает, что влияние кулонова поля, как и следовало ожидать, сводится
к появлению дополнительного множителя, характеризующего степень
проникновения этого поля.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rutherford, С h,a d w i с k and Ellis, Radiations from Radio-
active Substances, Cambridge, 1930.
2. Gordon, Zs. f. Phys., 48, 180 (1928).
3. Temple, Proc. Roy. Soc., A121, 673 (1928).
4. Sommerfeld, Ann. d. Phys., 11, 257 (1931).
5. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, М.-Л., 1934.
6. S е х 1, Zs. f. Phys., 56, 72 (1929); 81, 163 (1933).
7. Yost, Wheeler and В r e i t, Phys. Rev., 49, 174 (1936).
8. Yost, Wheeler and В r e i t, Terr. Mag. Atm. Electr., декабрь,
443 (1935); Wicker, там же, декабрь, 390 (1936).
Глава IV
СПИН ЭЛЕКТРОНА
§ 1. Магнитный момент атома
При рассмотрении некоторых задач теории столкновений оказывается
необходимым принимать во внимание спин электрона.
Гипотеза о том, что электрон обладает осью симметрии и, следовательно,
четвертой степенью свободы, была введена в 1925 г. еще до развития новой
квантовой механики, с целью объяснения того факта, что для классификации
энергетических уровней атома необходимы четыре квантовых числа. В новой
квантовой теории методы описания спина были разработаны Паули [1} и
Дарвином [2]. Основываясь на чисто релятивистской трактовке волнового
уравнения, Дирак [3, 4] показал затем, что существование спина является
