Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, простое вычисление устанавливает, что
div(E(r) Р) + jvXRP • V) В] + у [div (Р (r) v)] X В = div (Р <8><Г).
(3.3.36)
Подставив выражения (3.3.32) -(3.3.36) в уравнение (3.3.24) и приняв во
внимание (3.3.18), завершаем доказательство.
Названия электромагнитного тензора напряжений tem и электромагнитного
импульса G происходят от того факта, что первое из соотношений (3.3.26)
напоминает локальное балансное уравнение для импульса (ср. с (2.4.21)),
хотя на самом деле оно является чистым тождеством, т. е. простой
переформулировкой fem. Приведем последовательно несколько замечаний,
касающихся сформулированной выше теоремы.
(a) Ясно, что пондеромоторная сила и момент, выражения для которых были
получены из электронной теории Лоренца, здесь рассматриваются как
первичные понятия (пока мы остаемся в рамках феноменологического
подхода); тензор напряжений tem и импульс G являются производными
понятиями: они вводятся тождествами (3.3.26) X На практике может
оказаться удобнее ввести электромагнитный импульс g в расчете на единицу
массы:
§ = G/p, (3.3.37)
тогда с учетом уравнения неразрывности первое уравнение
(3.3.26) преобразуется к виду
fem = div (tem + v <g> G) - pg. (3.3.38)
(b) Также очевидно, что тензор напряжений (3.3.27) есть сумма
симметричного электромагнитного тензора tf - так называемого
максвелловского тензора напряжений, зависящего
п Выражения (3.3.27) и (3.3.28) могут рассматриваться как точные в
галилеевском приближении. Поэтому замечание, сделанное в книге [Penfield,
Haus, 1967]: "неправильный выбор выражения для электромагнитного
импульса, когда электромагнитный тензор напряжений уже введен, приводит к
малым ошибкам в силе, которые имеют равное нулю среднее значение по
времени и которые нелегко измерить", хотя и верное, не имеет отношения к
данному контексту, так как мы начали с определения выражения для силы.
§ 3.3. Выражения для объемных электромагнитных слагаемых 185
только от электромагнитных полей Е и В таким же образом, как в отсутствие
вещества, и слагаемого, зависящего только от поляризации и
намагниченности; последнее слагаемое есть не что иное, как тензор,
введенный формулой (3.3.19):
tem = tr + (3.3.39)
где
tFit = EtEt + B,Bt - ueaife//. (3.3.40)
Объединяя уравнения (3.3.15), (3.3.39) и первое уравнение
(3.3.26), находим
fem - div tem = iL - div tF, (3.3.41)
\L - div t (3.3.42)
Для вакуума, где fem = fL = 0, оба уравнения (3.3.26)i и (3.3.42)
приводятся к виду
divtF=~. (3.3.43)
Легко проверить, что это тождество можно непосредственно получить из
системы уравнений Максвелла в вакууме без введения понятия силы.
(c) Тензор напряжений tem не является ни одним из хорошо известных
тензоров, введенных Минковским, Эйнштейном и Лаубом и Абрахамом в первом
десятилетии XX столетия; обсуждение этих тензоров имеется в работах
[Brevik, 1970;
De Groot, 1969; De Groot, Suttorp, 1972; Maugin, 1980b], Он,
однако, идентичен тензору, построенному Тьерстеном и Цаем [Tiersten,
Tsai, 1972] для случая изоляторов бив действительности соответствует
нерелятивистскому пределу пространственной части электромагнитного
тензора энергии-импульса, использованного рядом авторов, в том числе в
работах [Grot, Erin-gen, 1966; Maugin, 1971, 1978a, b].
(d) Импульс, определенный уравнением (3.3.28), очевидно, выражается в
неподвижной галилеевской системе отсчета Rg-Однако такой же интерес
представляет и соответствующая по-
А-
левая величина 9, выраженная в собственной системе отсчета 91с-
(3.3.44)
11 В работе [Livens, 1962] предложен подобный тензор, но со всеми
полевыми величинами, выраженными в Ra. Из его выражения, однако,
невозможно вывести второе из уравнений (3.3.26); последнее, будучи понде-
ромоторным моментом, содержит слагаемые порядка р = |V|/c.
186 Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
При помощи соотношений (3.2.26), (3.2.27) и (3.3.40) можно показать, что
^ и G связаны уравнением
с2 - G) = (tF + v (r) G - мет'1) • v, (3.3.45)
где I - единичный диадик. Это выражение будет полезным в последующем
изложении.
D. Работа электромагнитных сил
Термодинамическое рассмотрение электромагнитных полей и сил могло бы быть
основано на выражениях для макроскопического поля и силы, полученных в
предшествующих пунктах. Однако, чтобы быть последовательными, следует
вывести выражение для полной работы wem, совершаемой электромагнитными
полями в веществе в единице объема за единицу времени, при помощи той же
процедуры пространственного осреднения, которая использовалась для вывода
fem и сет. Получим выражение для wem, разложив в ряд правую часть
следующего уравнения, которое считается справедливым для данного
микроэлемента объема:
wem Д|/ __ ? gg,a _|_ |а _j_ уа) . е(г (3.3.46)
а
Как отмечается в работе [Dixon, Eringen, 1965] при записи уравнения
(3.3.46) нам нет необходимости затрагивать вопрос, какую часть
электромагнитных сил следует рассматривать как объемные силы, а какую -
как поверхностные. Нет путаницы и при определении работы, совершаемой
