Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
+ 5 {[l-7DX(v-v)]-jlxn};dx = 0, (3.2.67) ^ (V • D - qf)dv + ^ ([D] • n -
wf)da = 0, (3.2.68)
Df-a а
J V-Bdu + J[B]-da=0, (3.2.69)
Dt^a а
\ (4tL + V ' 3)dv ~ \ w-xdl +
Dt-a do-ya
5 {[j-(7fv].n + Vo-X + ^}dfl = 0. (3.2.70)
°-Y0
Здесь да - у"- граница поверхности а, из которой исключены точки, общие с
кривой у0. Символ 6/6/ означает конвективную производную по времени,
связанную с движением поверхности o(t) вдоль ее нормали, т. е.
W~W+V-&- Y = vn, -Ir-n-V. (3.2.71)
а символ V0 - поверхностный оператор набла, действующий на поверхности
н(/) (см. приложение A.III).
Если считать, что уравнения (3.2.66) - (3.2.70) справедливы для сколь
угодно малых элементов объема, поверхности и линии и что подынтегральные
выражения непрерывны в их области определения, то можно получить
следующие локальные уравнения Максвелла и соответствующие условия на
скачках [Maugin, Eringen, 1977].
Закон Фарадея
VX<? + -fB = 0 в Dt - a, (3.2.72)
n X [<^ + ^-ВХ (v - v)] = 0 на a -Vo- (3.2.73)
Закон Ампера
Vxi--D = -? в Dt - a, (3.2.741
4 С с J
nx[i-7DX(v-v)] = Y^ на а - у0. (3.2.75)
Закон Гаусса
V-D = qf в Dt - a, (3.2.76)
[D] • n = aif на а -- у0- (3.2.77)
176 Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
Сохранение магнитного потока
V-B = 0 в Dt - a, (3.2.78)
[В]-п = 0 на о - Yo- (3.2.79)
Закон сохранения электрического заряда
-^- +V • J = 0 в Dt - a, (3.2.80)
[J-?fv].n + -^-+Vo.^ = 0 на o-Ya, (3-2.81)
Ж- т = 0 вдоль до - Yo- (3.2.82)
Условия на скачках и граничные условия. Уравнения (3.2.73), (3.2.75) и
(3.2.77) можно преобразовать при помощи соотношений (3.1.2), (3.2.24) -
(3.2.27) и (3.2.65). В результате имеем
[Е] • п = аЯ, (3.2.83)
nX[l]-jnX[EX(v-v)] = j Жм, (3.2.84)
n X [Е] j- [В] = 0, (3.2.85)
где эффективные поверхностный заряд и ток введены в Яс по формулам
weii = Wf - [Р] • п, (3.2.86)
Жш = Ж + п х [Р X (V - V)] + СП х [Л (3.2.87)
Уравнения (3.2.83) и (3.2.84) являются условиями на скачках,
естественно дополняющими уравнения Максвелла (3.2.31) i и
(3.2.31) 4 соответственно.
Граничные условия на dDt легко получаются, если рассмотреть материальную
поверхность разрыва частного вида (v = v), на которой нет поверхностных
зарядов и токов. В этом случае соотношения (3.2.79), (3.2.77), (3.2.73) и
(3.2.75) принимают вид
п • [В] = 0, п • [D] = 0,
-> -> (3.2.88)
п х [#] = 0, пХМ = 0, [Я- п = 0.
Р. Материальная формулировка уравнений Максвелла (>) Уравнения для объема
вещества
Некоторые нелинейные задачи иногда проще решать, когда, как это было в
случае чисто механических балансных уравнений, уравнения Максвелла
записаны в отсчетной конфигурации
§ 3.2. Электромагнитные величины деформируемого тела 177
Жr. Чтобы получить такую формулировку, удобно ввести новые полевые
величины, обозначаемые готическими буквами и определяемые либо правым,
либо левым переносом (см. § 2.3) или через перенос по формуле (2.3.51):
Например, положив
легко установить при помощи тождества (2.3.52), используя обозначение
(2.2.15) ь что уравнения Максвелла в Ж я имеют вид
Здесь векторное произведение выполняется с использованием символа
альтернирования zklm в конфигурации ЖR. Этот символ связан с ецк
соотношением (2.2.12). Например, уравнение
(3.2.89) 4 в покомпонентной записи имеет вид
Величины, обозначенные готическими буквами, являются, очевидно, функциями
множества переменных (X,/). Можно заметить, что уравнения Максвелла
остаются форминвариантными при замене переменных (3.2.89), как это имеет
место для галилеевского преобразования. Уравнения Максвелла в форме
(3.2.90) были получены рядом авторов, в том числе в работах [McCarthy,
1968; Lax, Nelson, 1976].
(ii) Условия на скачках
При рассмотрении скачков также удобно иметь в своем распоряжении
выражения условий на скачках, соответствующие формулировке уравнений
Максвелла (3.2.90). Они получаются следующим образом. Предположим, что
поверхность cr(t) имеет непрерывно меняющуюся касательную плоскость (нет
кромок). Введем поверхностную плотность свободных зарядов и токов в ЖR по
формулам
33 = /F-1B, S = /F_1D, % = JF~xf, e=E-F+-l(F-V)xs,
^=H-F--l(F-Iv)X(r), =
(3.2.89)
Tlf = stwf, St = slF~1&,
(3.2.91)
12 Ж. Можен
178 Гл. 3. Общие нелинейные уравнения для сплошных сред
где отношение площадей элемента si определяется формулой
(2.7.5). Заметив, что условие на скачке, соответствующее первому
уравнению (2.2.53), имеет вид [J-'xt, к]т = 0 на поверхности a(t), и
введя поле скоростей образа 'L (t) поверхности a(t) в Жп по формуле
У(Х, 0 = F-1v, (3.2.92)
мы можем преобразовать условия на скачках (3.2.73), (3.2.74), (3.2.77)
и (3.2.79) при помощи уравнений (3.2.89), (3.2.91) и
(2.2.12) к следующей материальной форме для поверхности
2(0 с единичной нормалью N
МХ[(r) + >х(р-1у-У)] = °, (3.2.93)
NX[?--f 3)X(F''v-V)] = -^5l, (3.2.94)
[$]-N = % [ЭЗ] - N = 0. (3.2.95)
§ 3.3. Выражения для объемных электромагнитных слагаемых
А. Предварительное замечание
Перед тем как выписать общие уравнения нерелятивистской электродинамики
