Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
Указанные выше преобразования эквивалентности: Лр< для сужения унитарных
представлений группы SL (2, С) на под-
О
группу G(p) и Ат для произведения представлений группы
О О
G (р), частично можно найти в литературе. Для импульсов ре
о
е {± meiQ) : т > 0}, таких, что G(p) = SU{2), редукция сужения Usu <2, с)
1(2) проделана в книге Наймарка [18], а редукция произведения
представлений группы SU (2) приводит к общеизвестным рядам Клебша -
Гордана для этой группы
О
(см., например, статью Баргмана[15]). Для случая ре(яе(3):/г>0},
О I
т. е. G (р) = SU(l, 1), редукция сужения Usl <2, с) I SU (1, 1)
произведена в работах Рюля [31], Шарино, Толлера [32] и Му-кунда [33].
Коэффициенты Клебша - Гордана для группы S?/(l,l) вычислены в работе
Хольмана и Биденхарна [34].
О О
Для случая ре{±(е(0)|е|3,)}, т. е. G(p) = E(2), эта проблема решена
Шаафом [37].
О
В случае р = 0 представление (3.3.1) имеет вид
и'л{А, а)ф = Д&М2.с)(А)(r)Д&(2.с)(А)ф. (3.3.14)
Таким образом, задача сводится к редукции произведения представлений
группы SL (2, С). Решение этой задачи дано в серии статей Наймарка [35].
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 233
Приложение А. Ортонормированный базис в пространстве 3?2{R)
Покажем, что для заданных хе(0, 1), /е{0, 1,2,...} ортонормированный
базис в пространстве i?2(R) определяется следующим образом:
кх'1 (Я) = ^ ^ ^ ^ 21+/+к/2 Г 0х ~Ь ^ ~Ь Х)1 !_____-у-
11 L (д - I- 1)1 J (2/ + х+1)1
XF(l + /-p, 1 + / + и/2 + гЯ; 2/ + И + 2; 2),
р = /+ 1, 1 + 2, .... (А. 1)
В силу рекурсивных формул Гаусса для гипергеометрических функций (Бейтмен
и Эрдейи [23], стр. 111) для функций iQ1 выполняются следующие
соотношения:
2 iXKl'1 (А) = }/(р-/-1)(р.+ / + и) К$-\ (Я) -
- - /) (ц + I + * + 1) К&1 (А), (А.2)
К/V (Я) = .Г(1 + / + */2~г'Ч 21+/+К/2 д.ч, / ^ = 0>
J^2jt(2/ + x+ 1) !
Используя ортонормированный базис
(<' + ll + (2) =
_ Г + +J + K +V/а а+к
L (I* -1)! J
2
р = / + 1, 1 + 2, • ¦ • } (А.З)
в гильбертовом пространстве функций, голоморфных
внутри единичного круга и имеющих нуль порядка / + и + 1 или выше при 2 =
0, со скалярным произведением
ftl*)'- J ТШ+Щ (1 + 1 2 12>2/+И| 2 Г2/~2*~Ч (*У Ф (2), (А.4)
|z| < 1
построим производящую функцию
<*(*) = 5 <-г- + (2)^-г(А)*. (А.5)
Как можно показдть с помощью рекуррентного соотношения (А.2), эта функция
удовлетворяет дифференциальному уравнению
(1 - 2)2 -fz w* V (2) = [(/ + К + 1) г"1 + (/ + 1) 2 + 2гЯ] \ (z),
(А.6)
2-/-x-ia,x./ (2) I = Td+l + x/2+Л) 21 + /+и/2
+. Л v ' 1г=о 2я
234
М. ШААФ
решение которого имеет вид -/2 + г'Я)
[ _ z ч-I-/-X/2-1?. / j + z \-l-/-x/2+tt
^ (2) = Г(1 + /+_и/2+гЯ) г1 +1+к х
/ I _ _ . -l-J-X/Z-JA /II- ч-1-(-Х/2+М
х(тг) (тг) • ^
Интеграл
+ 00
I 'йа'+'Л (20 v (Z)*
по существу представляет собой преобразование Меллина квадрата модуля
гамма-функции и дает ядро, отвечающее единичному оператору в пространстве
(см' Ф°РМУЛУ
(1.3.52)]:
+ 00
J dkw^ \ {г') до*' \ (г)* = К,к< + (z\ z) =
= 2 <,', + (20<'г' + (2)\ (А.8)
ц=/+1 ^ и
Подставляя в левую часть формулу (А.5) и приравнивая коэффициенты
разложения, получаем условия ортогональности и нормировки
+ 00
J (Я)* *?'(*) = Vii. (А.9)
-оо
Чтобы доказать полноту системы функций {к".'1: ц = I + 1, / + 2, .. .} в
пространстве ^(R), покажем, что функция, ортогональная всем функциям
К^.'1, равна нулю. Первый параметр гипергеометрической функции в формуле
(АЛ) принимает целые отрицательные значения. Таким образом,
гипергеометрическая функция сводится к полиному по переменной Я степени
ц-I-1, который связан с полиномами Поллачека (см. работу [36]). Поэтому
достаточно показать, что элемент пространства i?2(R), ортогональный всем
функциям fn : fn (Я) = Г (1 + I + •/2и - /Я) Я", п = 0,1,2, ..., равен
нулю. Пусть функция f ортогональна всем fn. В силу асимптотического
условия
|Г(1 + / + и/2 - /Я)Р"|Я|я+х+1е"я|М, | Я | -> оо, (АЛО)
функция
&:&(А) = Г(1 +/ + и/2-/Я)е'**- (АЛ 1)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 235
при всех г, лежащих в полосе | Im z | < 1/2я, принадлежит пространству
i?2(R). Тогда скалярное произведение
+ оо
F(z)= J dXf(k)'r(l +/+и/2- iX)el* (А. 12)
-оо
существует для всех z из этой полосы и является там голоморфной функцией.
Из нашего предположения о виде функции f следует
- F (0) = 0, " = 0,1,2,.... (А. 13)
При этом F = 0 и f(А) = 0 почти для всех X.
Приложение Б. Знаковый множитель е (со, А) Рассмотрим знаковый множитель
в формуле (2.5.53): а (о, А) = со !Ха (ю)(юЛ)/а, ?л (со) = (иА12+Л22)/|
g>A12A-A22 !• (Б.1)
Здесь oeA/C, А е St/(1,1). Знак квадратного корня определен так:
о)'/з = ег arg и/2, -я ^ arg (со) < я. (Б.2)
В силу равенства
е(со, А)2 = ?л(со)2-^=1, (Б.З)
множитель е(со, А) принимает только значения ±1. Величина соА, как и со,
пробегдет границу единичного круга, причем в том же направлении, и
принимает значение -1 при
со - со_ - - (А22 А- A2i)/( Ац А- А(9), О-А - - 1. (Б.4)
Согласно формулам (Б.2) и (Б.З), arg (со А) = arg (со) - 2arg (?л(ю)) +
