Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
/ 1 \Р'-|1 Г Г (р' + I + И + 1) Г (р' - /) Т/г
' L Г(р+/+х + 1)Г(р-/) J '
где р', р- целые, хе{0, 1}, фактор Л/?' 1 определен в формуле (2.3.4).
Гнпергеометрнческая функция F = 2Ei является целой функцией в плоскости /
и однозначной аналитической функцией в плоскости 2, с разрезом от 1 до +
оо. При 2 = 0 функция F равна 1. Учитывая наличие множителя (-2)'/2<ц
X
X (1 -2)/2 <р+р+х) следует добавить также разрезы от 0 до + оо и от 1 до
+ оо. Множитель есть однозначная аналити-
ческая функция в плоскости I с бесконечным числом разрезов, концы которых
находятся в целых точках на вещественной оси; при этом
hrx,l±i0 ±tn-~JL -1/" Г (р'+ / + х + 1) Г (-р + / + 1) (о R 0\
Янт* -в +у г(^ + / + и + 1)г(_х + /+ц
При I ^ шах (р', р, -р' - X, -р-х).
164 М. ШААФ
Эта формула выводится из поведения функции N*'1 в комплексной плоскости I
в соответствии с соображениями, приведенными после формулы (2.3.4). Из
условий симметрии (2.3.6) для этой функции имеем
1/К, I I 1 рЧ, I l,Vt,---I-X-"1 /л я Q\
¦Л/ц'ц- I -¦ N-и-х, -ц'-х - Nц'(1 , (2.6.3)
и потому, используя функциональные соотношения для гипергео-метрических
функций (см. Бейтмен и др. [23], стр. 110), получаем
(-l)**'-** (г) = иХ (г) = u^_Xi _ц,_х (г),
"ЕоТ'-*-1 (z) = (г).
Таким образом, в дальнейшем можно считать, что
- р/ - р/^0. (2.6.5)
На отрицательной вещественной полуоси в плоскости z и при значениях I,
отвечающих неприводимым унитарным представлениям группы SU (1, 1),
согласно формуле (2.3.15),
^М = ^(*), *<°- (2-6-6)
х I
Функции и й',' , определяемые условиями
цХ, / - ein sign (Im /) (ц'-ц)/2цХ, I ^ =
X /
= gin (sign (Im /)-sign (Im z)) (ц'-ц)/2ц^ (z^ (2.6.7)
в соответствии с формулой (2.6.2) при целых I, отвечающих неприводимым
унитарным представлениям группы SU (2), совпадают с функциями,
определяемыми формулами (2.2.6) и (2.2.7). Поэтому функция
х / . ,. / Лп \<Ч'+Ц + к)/2 / A an'-M-V2
V Ш *(-А,Ия) (2-6.8)
на группе SL(2, С) дает аналитическую интерполяцию матричных элементов
представлений подгрупп SU (2) и SU (1, 1). Действительно, при сужении на
подгруппу SU (2) из формул (2.6.7) и (2.2.5) получаем при целых /^>р'
^'l±i\A)^e±in{^)l2U%'j}(2){A)^ A^SU(2), (2.6.9)
а при сужении на SU {1, 1) из формул (2.6.6) и (2.3.15) получаем для
значений I, отвечающих неприводимым унитарным представлениям группы SU
(1, 1),
U*'l(A)il<VL = U*sJ\?,i)(A)ll'll, AsSU(l, 1). (2.6.10)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 165
Параметризация с помощью углов Эйлера дает специальную форму этой
аналитической интерполяции. Полагая
А = А (о, ?, v) =
e-ial2 о \ / ch g/2 sh g/2 N / e<Y/2 0 \
0 e-^2/Uh?/2 ch g/2 / \ 0 (2-6-n)
O^o < 2n, 0^y<4n
- & = l + : 0<g< oo, - n< p<n}U{S = *p:0<P<n},
мы получаем параметризацию группы St/(2) при g = Re? = 0 и параметризацию
группы SU (1, 1) при р = 1т? = 0. Согласно формуле (2.6.8), имеем
?/*'' (A (a, I, y)V'h = eia^+mu^1 (- sh2g/2) е-^0*+*Я (2.6.12)
Аналитическое продолжение, соединяющее подгруппы SU (2) и SU (1, 1), в
этом случае происходит внутри полосы S-я, я, которая функцией
z = - sh2-^ (2.6.13)
отображается на комплексную плоскость z. При этом прямые | = const и
полупрямые р = const отображаются соответственно на эллипсы с фокусами в
0 и 1 и на половины ветвей гипербол, ортогональных этим эллипсам и
исходящих из интервала (О, 1). Здесь z = х - tO, x^l-образ прямой р = п-
0. Отрезку [0, 1] и отрицательной вещественной полуоси в z-плоскости
отвечают соответственно отрезки прямых \ = 0 и [5 = 0 из полосы S-я, я-
Функция ц?;г в формуле (2.6.1) может быть выражена с помощью функции
Якоби Р{п' Р) (см., например, Бейтмен и др. [26], стр. 172) следующим
образом:
uv/\i (z) = (1 -Z)^'w+1()/2Pr;-"'w+K, (1 -2z).
N•*' (2.6.14)
Мы используем эту формулу, чтобы, вводя функции Якоби второго рода,
определить следующие функции:
(Z) zf'-W (1 - (1-2 z) =
N\i
= 1Г (1 + /-[XО Г (1 + I + (X + %) Np' (-^'-^(l-z^+^X
_y-VL'-i-x-1 F (ц' + I + x + 1. |x + / + x + 1; 2/ + x+ 2; 1 jz) ^ g 15)
Г (2/ "j- н "j- 2)
166
М. ШААФ
Функция vв комплексной плоскости z имеет разрез на вещественной оси от 0
до 1, связанный с функцией F, логарифмический разрез вдоль положительной
вещественной полуоси из-за функции (-.г)~ц при нецелых I, а также
корневые
разрезы от 0 до + °° и от 1 до + оо, связанные с множителем (-zf (ц'~ц)
(1-~;)'/2<ц,+ц+и* при нецелых показателях степени. В плоскости I функция
кроме разрезов, связанных
с множителем N^'^, имеет также полюсы, связанные с наличием в числителе
Г-функций. Других особенностей в конечной части плоскости I нет. При р/ =
|А = и = 0 имеем
u^{z) = Pl{l- 2г), y°'0'(z) = Q,(l - 2z), (2.6.16)
где Pt и Qt - функции Лежандра I и II рода. Найдем теперь для функций
и*',\ и nV аналог формулы Гейне (Бейтмен и др. [23], стр. 169):
оо
2 ^(2п+ 1)P"(1-2z)Q"(1 -220=7^, (2.6.17)
п= 0
которая справедлива, если z лежит внутри некоторого эллипса с фокусами 0
и 1, a z' - вне этого эллипса. С этой целью обсудим прежде всего
