Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть рассматриваемая нами система — тракт оптико-электронного прибора—характеризуется импульсной функцией /(с(0).
19 М. М. Мирошников
569
На вход системы в момент времени tc поступает сигнал E~v(t — /с). Сигнал на выходе системы определяется сверткой
ч-°°
ыс(/)= } ?¦_.!(/ — /с) — в] /Сс (в) d0.
-СО
В момент времени t = tc -\- t0, когда оптимальный фильтр обеспечивает получение максимума сигнала, рассматриваемая система выдаст сигнал
+ 00
и« (/« + *<>) = I ?~„(/о — А) /Сс (0) d().
О
Нижний предел интегрирования в полученном выражении равен пулю в связи с тем, что при 0 < 0 импульсная функция Кс (в) = 0. Поскольку
?..(<« - в) = ?~л(4. - в) = ?-„-К„р1 (в),
то
со
«с (<с + ад = J Кор, (Щ /Сс (В) <ге.
А0 q
Дисперсия шума на выходе усилителя рассматриваемой системы
S = JМ^/СшахЛ/ш.;
пр (/о)
— ОО
Полагая, что инерционностью приемника в рабочем диапазоне частот можно пренебречь, т. е. | К'ир (f) | = 1 и kuр (/0) = Ь
а шум — белый, т. е. е (/) — 1, можно найти
-j-ОО -{-СО
д/ш. = -J— j I /Сс (/) f ‘// = J— 1 /Сс (0) <*>.
A max —оо Atnax
что следует из равенства Парсеваля, т. е.
оо
«4 = Е,(/о)| Лс(О)?/0.
о
570
Нижний предел интегрирования равен нулю по тем же причинам, что и в выражении для ис (tc /0). Следовательно,
2
РО =
E~J*
Ко
J Яор| (0) Кс (0)<Ю
Ex (fo)
jVc(0)
dB
Нам необходимо найти максимум полученного выражения для тех параметров рассматриваемой системы, которые подлежат оптимизации. Допустим, имеется п таких параметров а0, alt ОС.2» •••> ОС/j»
Кс == ^2> • • • >
По каждому из этих параметров нужно наити производную —-,
где i = 0, 1,2, /г, приравнять ее нулю и из полученной си-
стемы п -f 1 уравнений отыскать оптимальные значения параметров а0, аь а2, ..., а„.
Прежде чем приступить к этому, обратим внимание на следующие обстоятельства. Во-первых, в процессе дифференцирования и составления уравнений окажутся не существенными абсолютные значения входящих в уравнения величин, так как они определяют не форму подбираемой импульсной функции, а ее масштаб. Следовательно, можно перейти к относительным значениям импульсных функций, т. е. заменить /Copt (б) на &Dpt (0), а Кс (0) на kc (0). Во-вторых, можно считать, что оптимальный фильтр выдает информацию сразу же по завершении исследуемой реализации, т. е. k0pt (0) — 0 при 0 > Г, где Т — длительность реализации.
И, наконец, поскольку импульсная функция оптимального фильтра не зависит от параметров ah подлежащих оптимизации,
d&opt (0)
то производная —^ ¦ ¦ = 0.
Учитывая все это, можно найти
Н. С. Шестовым, предложившим рассмотренный метод оценки степени оптимальности системы, показано, что выбор ее парамет-
19*
571
ров в соответствии с критерием получении максимума (‘о в момент t0, равносилен обеспечению условия
т. е. условию минимального различия импульсных функций оптимальной и рассматриваемой систем.
Из этого условия следует, что если один из параметров рассматриваемой системы является просто множителем, например <х0 в выражении
то с этим множителем можно не считаться, так как он определяет лишь масштаб, а не форму импульсной функции. Следовательно, все расчеты, связанные с оценкой степени оптимальности фильтра, можно проводить, пользуясь относительной импульсной функцией kcl (0)
Рассмотрим в качестве примера RC-фильтр, используемый вместо оптимального для выделения прямоугольного импульса па фоне белого шума.
Импульсная функция оптимального фильтра в этом случае равна
kopt (0) = y(t0 — 0).
Если /0 = /вх/2, то kopt (О) = 1 при 0 < 0 < 4Х и &>pt (0) = 0 при 0 > /вх.
Импульсная функция /^С-фильтра
кс (0) = 11/(ЯС)]ё°/(«с>, а ее относительное значение
Постоянная времени /?С-фильтра т — RC является единственным параметром, подлежащим оптимизации. Полагая а1 — 1 /(RC) и составляя условие
и методом последовательных приближений определить параметр а1у т. е. найти
( l^opt 00 — kc (0)f d0 = liiin,
о
kcl (0)-e-e/(«c).
можно найти трансцендентное уравнение
1 -}-2а1^вх = еа1<вх
т = RC = l/aL = taJ 1,256.
572
Квадрат отношения сигнала к шуму в момент времени I /(. -|- /„ для рассматриваемой системы, выраженный в относительных (условных) 'единицах, равен
г
ч
Ротн
j *01.1 (0) *с, (0) rfO
Если kc\ (<J) — ^0pt (0), т- e. для оптимального фильтра
Иотн == j /е2орт (0) dQ.
Следовательно, сопоставление рассматриваемого фильтра с оптимальным можно произвести, вычислив коэффициент х2 —: Ротн/М'от»-Это дает
Т "12 I со Т
| А„„1 (0) *С1 (6) <10 / j *2, (0) de I *о„1 (0) dO.
X —
2
Ротн
~2
Ноты
Так как
1 I
К„((е)*ci(«)<» = } I-e-«.«d0=-i(l —е о о 1
CO со Т
J & (0) dO = [ е-201'" d0 = - J- ; f felpt (0) d0 — Г,
о о 1 С
то при аг = 1,256//вх, fBX = Т найдем х2 = 0,815.
Таким образом, подобранный простой фильтр уступает оптимальному весьма незначительно.
Если на вход системы приходит не один импульс, а группа из N одинаковых импульсов, то спектр такого сигнала
у (/) = у{ {f) [ 1 + e-'w‘ + е_/2я/т* -j-------1 e~i2nfTM-i],
где Yj (f) — спектр первого импульса, начинающегося в момент
t — 0, — спектр второго импульса, сдвинутого на
