Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Б. Ограничения, налагаемые на параметры:
Геометрия Керра — Ньюмана обладает горизонтом и, следовательно, описывает черную дыру в том и только том случае, когда M2 ^ Q2 + а2. Кажется весьма вероятным, что в любом коллапсирующем теле, в котором это ограничение нарушается, центробежные и (или) электромагнитные силы отталкивания остановят коллапс, прежде чем будет достигнут характерный размер ~М; см. уравнение (33.56).
B. Предельные случаи:
Q = 0 — геометрия Керра [99];
^S1 = 0 — геометрия Рейснера — Нордстрема и электромагнитное
поле (упражнения 31.8 и 32.1);
Q = S- 0 — геометрия Шварцшильда;
M2 — Q2 + а2 — «экстремальная геометрия Керра — Ньюмана».
Г. Координаты Бойера — Линдквиста [101] (обобщэниз шварцшильдовских координат t, г, 0, ф; черная дыра вращізтся в направлзнии ф):
ds2 = — (A/p2) \dt — a sin2 0 йф\2 + (sin2 0/р2) [(г2 + а2) dф— a dt\2 -}-(р2/А) dr2 + р2 dQ2;
(1)
Д = r2 — 2Mrа2Q21 р2 =г г2-|-а2 cos2 0 ; (2)
F = <?р"4 (г2 —a2 cos2 0) dг Д [it — а sin2 0 йф] +
-f 2Qp~‘tar cos 0 sin 0 d0 Д [(г2 -J- а2) — a di]. (3)
Д. Координаты Керра (обобщение [сжимающейся системы координат V, г, 0, ф Эддингтона — Финкелыптейна; (F, 0, ф) = const есть сжимающаяся «радиальная», нулевая геодезическая; черная дыра вращается в направлении
(4)
Связь с координатами Бойера — Линдквиста:
d7 = df-Hr2 + az) (dr/A), d^ = іф + a (dr/A). ds2 = _ [I — р-2 (2Mr — (?2)] dVz + 2drdV + p2 dQ2 +
~ p~2 (r2 + a2)2 — Aa2 sin2 0] sin2 0 dф2 — 2a sin2 0 dfi dr —
-2ap'2(2Mr-Q2) Sin2QdidV. (5)
F =¦ Qp ‘ [(r2 — a2 cos2 0) dr Д AV — 2a2r cos 0 sin 0 d0 Д dV —
— a sin2 0 (r2 — a2cos2 0) dr Д d^ + 2ar (r2 -f a2) cos 0 sin 0 d0 Д d^]. (6)
§ 33.2. Гравитационное и электромагнитное поля черной дыры 87
I
Свойства геометрии пространства-времени
А. Симметрии (§ 33.4):
Метрические коэффициенты в координатах Бойера — Линдквиста не зависят от t и ф, а в координатах Керра — от V и ф. Таким образом, геометрия пространства-времени является «независящей от времени» (стационарной) и аксиально симметричной. «Векторы Киллинга» (§ 25.2), связанные с этими двумя симметриями, суть (д/дОг,е,Ф = (d/dV)r<e^, и (с?/й^)ііГ>е = (д/дф)у,г,в• Б. Увлечение инерциальных систем отсчета и предел статичности (§ 33.4):
1. «Увлечение инерциальных систем отсчета» моментом импульса черной дыры приводит к прецессии гироскопов относительно далеких звезд. По этой прецессии определяется и измеряется момент импульса черной дыры (см. § 19.2 и 19.3).
2. Чем ближе мы подходим к горизонту черной дыры, тем сильнее становится увлечение. Прежде чем мы достигнем горизонта, на поверхности, которая описывается выражением
увлечение становится столь сильным, что ни один наблюдатель не может оставаться неподвижным (т. е. быть «статическим») относительно далеких звезд. На этой поверхности (называемой пределом статичности) и внутри нее все наблюдатели с фиксированными г и 0 должны двигаться по орбите вокруг черной дыры в том же направлении, в котором вращается сама дыра:
Независимо от того, какую мощность развивают его реактивные двигатели, наблюдатель при фиксированных г и 0 внутри предела статичности никогда не сможет остановить свое вращательное движение относительно далеких звезд.
3. Математическое обоснование приведенного только что утверждения сводится к следующему. Мировая линия вида (г, 0, ф) = const (тангенциальный вектор ~ dldt равен «вектору Киллинга в направлении времени») из времениподобной, какой она была вне предела статичности, превращается в пространственноподобную внутри предела статичности. Следовательно, ни на пределе статичности, ни внутри него никакой наблюдатель не может оставаться неподвижны .
В. Горизонт (§ 33.4):
1. Горизонт расположен на радиусе
2. Как в случае шварцшильдовского горизонта невращающейся черной дыры, так и здесь частицы и фотоны могут падать внутрь, пересекая горизонт, но ни частица, ни фотон не могут выходить из-под горизонта.
3. Горизонт «генерируется» выходящими нулевыми геодезическими (мировыми линиями движущихся наружу фотонов).
г = г о (0) = M + Vr Мг — Q2 — а2 cos2 0 ,
(7)
(^O при а = 5/М>.О и г^г0).
r = r+ = Af + уM2-Q2-Ci2 .
(8)
I
88 33. Черные дыр
Г. Эргосфера (§ 33.4):
1. «Эргосферой» называется область пространства-времени, расположенная между горизонтом и пределом статичности. Она играет фундаментальную роль в физике черных дыр (дополнение 33.3, § 33.7).
2. Предел статичности и горизонт касаются друг друга в точках, где они пересекаются с осью вращения черной дыры (0^ 0. я); всюду, за исключением этих точек, они отделены друг от друга, причем предел статичности всегда находится вне горизонта, если аф 0. При а=0 (когда вращение отсутствует) предел статичности и горизонт совпадают; в этом случае отсутствует увлечение инерциальных систем отсчета, нет эргосферы.
Д. Сингулярность в координатах Бойера — Линдквиста:
1. В случае невращающейся черной дыры шварцшильдовские координаты становятся сингулярными на горизонте. Одно из проявлений этой сингулярности состоит в том, что для падения под горизонт частице или фотону требуется бесконечное координатное время: t -> оо при г —>¦ IM. Один из способов избавиться от этой сингулярности (способ Эддингтона — Финкельштейна) заключается в замене t на нулевую координату
