Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Путь луча, используемый в расчете (у = Ъ = const)
^ Отражатель
T
¦±
Солнце ФИГ. 40.3.
К расчету релятивистской временной задержки (схема в ППН-системе координат).
Интегрирование дает
Itr — ан ат (1 У) Mq In j"
{aR + Val +62) (aT + Va,‘+62)
62
]•
(40.13)
Промежуток координатного времени, затрачиваемый на путь туда и обратно, имеет удвоенное значение. Промежуток собственного времени, измеренный по часам, расположенным на Земле,
At — I goo Іземля 2іуд,
At — 2 (aR "I- ^71) ^
м,
]/ аг +б2
) +
і п /л і \ л г і Г (аД + !^“н + Ь2) (аг+j/fly+Ь2)
+ 2(1 + 7) mQ In ------------
ь2
]. (40.14)
3) формула для задержки
Это промежуток времени по часам, расположенным на Земле, без учета поправок на орбитальное и вращательное движение Земли, на орбитальное движение отражателя, на дисперсию излучения, пересекающего солнечный ветер и корону, и, наконец, без учета поправок на временную задержку в гравитационном поле Земли.
Любой читатель может возразить против той формы, в которой записано выражение (40.14) для временной задержки. Величины aR, аТ и Ъ суть координаты, указывающие положение в ППН-системе координат, а не те величины, которые астроном может непосредственно измерить. Они отличаются от координат, задающих положение в других, столь же хороших системах координат, на величину порядка Mq —1,5 км. Ho дело здесь не в математической форме. Величины aR, ат и Ъ вполне хорошо определены
4) сравнение с экспериментом
358 40. Эксперименты в Солнечной системе
(с постньютоновскими неопределенностями порядка Ъ (Mq/Ъ)2 С < 10 6 км), так как вполне хорошо определена сама ППН-система координат. Ho они не являются теми величинами, которые экспериментатор может измерять непосредственно с точностью, хотя бы приближающейся к той, которая требуется для проверки релятивистских членов в формуле для временной задержки (40.14).
На практике, к счастью, экспериментатору нет необходимости измерять Яд, CLt ИЛИ Ь с высокой точностью. Вместо этого он проверяет формулу для временной задержки путем измерения изменений At по мере того, как Земля и отражатель движутся по своим орбитам вокруг Солнца, т. е. он измеряет At как функцию земного времени т. Заметим, что, когда луч проходит вблизи Солнца (Ъ aR, Ъ аТ, но db/dx daR/dт и db/dx daT/dx. поскольку орбиты Земли и отражателя близки к круговым), изменение величины b в логарифмическом члене (40.14) преобладает над всеми другими релятивистскими поправками к ньютоновской задержке; следовательно (используя значение для типичных экспериментов db/dx ~ 10 км/с),
Подобные относительные изменения времени распространения сигнала туда и обратно, которые возрастают при приближении линии Земля — отражатель к Солнцу и уменьшаются при ее удалении от Солнца, легко наблюдаемы.
На практике, чтобы получить точность лучше чем 20%, при определении параметра у путем измерений временной задержки необходимо тщательно накапливать и обрабатывать данные за время порядка года — от момента, когда луч проходит далеко от Солнца (Ъ ~ ат ~ IO8 км), до момента наибольшего кажущегося сближения Солнца и отражателя (b ~ Rq ~ IO6 км) и далее до момента. когда луч снова удален от Солнца. Такая длинная «дуга» данных необходима для определения с высокой точностью орбиты отражателя и для того, чтобы в полной мере воспользоваться логарифмически медленным спаданием At с увеличением Ъ в (40.14). Когда луч далек от Солнца (b Rq), упрощающие допущения, сделанные в (40.15), несправедливы, и релятивистскую временную задержку трудно отделить от эффектов орбитального движения Земли и отражателя. В этом случае по-прежнему может проводиться непосредственный анализ, но его детали столь сложны, что для проведения этого анализа прибегают к численным интегрированиям на компьютере. Поскольку сюда входят орбитальные движения, данные по временной задержке содержат информацию о друга \ метрических параметрах (главным образом (3) помимо у.
30 мкс с ут.
(40.15)
§ 40.4. Временная задержка радиолокационных сигналов 359 |
Экспериментальные данные, полученные до 1972 г., описаны в дополнении 40.2. Они дают значение ППН-параметра у
V = 1,02 ± 0,08 (40.16) 5) эксперимен-
тальные результа-
с большей точностью, чем эксперименты по отклонению света ты для 7 и радиоволн. Будущие эксперименты с использованием космических кораблей могут улучшить точность определения Y до ±0,001 или еще выше.
40.3. Принцип Ферма упражнение
Докажите принцип Ферма для статического гравитационного поля.
[Указание. Доказательство можно проводить следующим образом. Выпишите уравнения для геодезических в четырехмерном пространстве-времени, используя аффинный параметр к. Перейдите от параметра X к координатному времени t и, пользуясь тем, что ds2 = 0, получите уравнение
Cpxtl р dxh dx^ р е dxh dxf . d2t/dX2 dxh ,-,
gik~di2~ + lIht ~dt ~dt •?0° "goo" ~dT ~df + (dt/dX)2 gihHt = ‘
Скомбинируйте его с временной частью уравнения для геодезических
d2t/d7.2 0F dxh/dt
JdtJdW
