Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
-\--^Ау, z + Y^zI • В этом соотношении использованы нормальные
римановы координаты; суммирование по индексам, заключенным в вертикальные черточки, как, например, | |, ограничено усло-
вием X ¦< ц. Момент этого поворота по отношению к точке P представляется тривектором
(момент поворота,\
соответствующий \ = (Pllcmp — Р) А в* Д вц R1 Х“ l^zAy Az.
передней грани I иередн. гр
AyAz / (15.10)
Здесь ни Pn, передн. грі НИ не имеют точно определенного смысла, которым обладает вектор, но их разность представляет собой вектор в пределе бесконечно малого разделения AP = ^n.передн.гр — Р. Задней грани соответствует такой же момент поворота, но с противоположным знаком и с заменой Pn. переда, гр на Pn. задн. гр. В разности этих двух членов множитель P не представляет никакого интереса, поскольку мы уже знаем, что он сократится [тождество Бианки (15.4); аналог равенства SF'** = Ob механике!. Значение разности Pn. передн. гр — <^ц. задп. гр составляет Дате*. Суммируя по всем шести граням, получаем
/полный момент поворота, соответствующий^ _
\ кубу, или гиперграни AxAyAz) /
= BxAeJtAeH^ui*1 угАх Ay Az {передняя и задняя грани) +
+ eW A A X|1 lZx^y Az Ax (боковые грани) -f
+ е*Лв*Ле*яи“ *XJIAzAxAy (верхняя и нижняя грани). (15.11)
В этой сумме мы узнаем значение (на элементе объема В* A By А А вгАх Ay Az) 3-формы
evA ВяЛвцЯ1 ^ 1I аэ |dxVA dx“ A dxP.
Более того, эта 3-форма определена в точке (причем определена строго), тогда как выражение (15.11), относящееся к протяженной области, не может быть подвергнуто анализу, который одновременно и точен и краток. Поэтому мы предпочтем 3-форму выражению (15.11). При этом, когда дело доходит до интерпретации, нельзя забывать, что значение этой 3-формы надо находить для «куба»
§ 15.4. Нахождение момента поворота 453
®* А •» A BzAxAyAz. Заметим теперь, что «тривекторнознач-ную 3-форму момента вращения» можно записать также в виде
(поворота) = = eVAebAeI^ixilWl JxvAibaAdxp. <15-12)
Здесь
№ = Воіх° (15.13)
есть картанов единичный тензор ранга (J)- Через M обозначен оператор кривизны, трактуемый как бивекторнозначная 2-форма:
^ = e*Ae^U“'i«ei«lseAd*p. (!5.14)
На языке компонент, как в (15.11), или на абстрактном языке, введенном в (15.12),— в обоих случаях нам приходится иметь дело с тривектором. Тривектор можно оставить и тривектором, как (в совсем ином контексте) элемент 3-объема на гиперповерхности в 4-пространстве можно оставить в виде тривектора. Однако удобнее перейти к дуальному представлению и говорить об элементе объема, как о векторе. Обозначим посредством * операцию дуальности, действующую лишь на контравариантные векторы, тривекторы и т. п. (но не на формы). Тогда в лоренцевой системе будем иметь *(вх А е2 A ез) = ео. но *(dx®) = Ar3. В более общем виде
(вуAe^AeIi) = ®vXii еа* (15.15)
В этих обозначениях «векторнозначная 3-форма момента поворота принимает вид
(помрота) = *(d^A^) = eoevx/i?U,1|,«PldxvAdxeA«bP =
= е<т (*ад аз IdxvAdxeAdxp,
или на следующем этапе
- *<W ЛЯ) - (?*)."?%. (15.16)
Здесь, как и в дополнении 5.4, через d32T обозначены базисные
3-формы; таким образом,
dxv A dx“ A dxp = ev“pT d32T. (15.17)
(В локально лоренцевой системе dx1 Adx2Adx3 = ^3S0.)
Формула (15.16) занимает центральное место при анализе кривизны. Она исходит из элемента 3-объема и дает в результате момент поворота в этом 3-объеме. Тензор, который связывает исходный объем с конечным моментом,—«свернутый дважды дуальный» R — настолько важен, что заслуживает собственного названия. Он назван тензором Эйнштейна G, т. е.
(тензор Эйнштейна)*71 a Got = Gvctvt = (*R*)vavt. (15.18)
V» 29-01457
2
5) вапиоь в абстрактной форме І&> А
в) запись в абстрактной форме*
(*.9° Л = OaGaVS1
2
454 15. Тождества Бианки и граница границя
вывод Сохранения полного момента поворота:
1) на 88 = О
Об этом тензоре уже шла речь в § 13.5, 14.2, а также в примерах в конце гл. 14. Выраженная через G связь между элементом 3-объема и «векторнозначным моментом поворота» принимает вид
В общей теории относительности количество «векторнозначного момента поворота» в элементе 3-объема отождествляется
с количеством энергии-импульса в этом же 3-объеме. Однако мы не будем пока делать этого отождествления и остановимся подробнее на свойствах сохранения момента поворота. Сначала мы рассмотрим их в формулировке на языке интегрального исчисления, где они являются следствием принципа дд = 0. Затем мы рассмотрим их в дифференциальной формулировке как следствие тождества dd = 0.
§ 15.5. СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ПОВОРОТА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПРИНЦИПА «ГРАНИЦА ГРАНИЦЫ РАВНА НУЛЮ»
Mомент поворота дает определение автоматически сохраняющейся величины. Другими словами, значенне момента поворота для элементарного 3-объема AxAyAz по истечении промежутка времени At равно значению момента поворота для того же 3-объема в начале этого промежутка времени, исправленному на момент поворота, втекший туда через шесть граней 3-объема за прошедший промежуток времени (величина, пропорциональная AyAzAf, и т. д.). Убедимся теперь в справедливости сохранения момента поворота на языке «границы границы». Будем действовать по схеме уравнения
