Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
А = ах + Ъ.
(В развиваемом формализме нет ничего, хотя бы отдаленно напоминающего ньютоновское мировое время, «текущее всюду равномерно»; вместо этого на каждой геодезической есть свое отдельное собственное время т.) В дополнении 13.3 рассмотрен другой вариационный принцип, который в один прием позволяет найти экстремальную мировую линию и правильную параметризацию этой линии.
Описанный здесь этап является завершающим в переводе идей геометрии искривленного пространства с основапия, опирающегося на геодезические, на основание, опирающееся на метрику. Полученная в результате геометрия всегда и везде неразрывно свя-8ана с принципом, утверждающим, что она носит «локально лорен-цев характер», что совершенно невозможно в геометрии Ньютона— Картана.
13.5. Временшгодобная в одном месте — времениподобная повсюду
Покажите, что геодезическая пространства-времени, которая вре-мениподобна в одном месте, является времениподобной повсюду. Аналогично покажите, что пространственноподобная вначале
§ 13.4. Геодезические — мировые линии с экстрем, собств. временем 393
2
геодезическая является пространственноподобной повсюду, а нулевая вначале геодезическая является всюду нулевой. (Указание. Это самое легкое упражнение во всей книге!)
13.6. Пространственноподобные геодезические обладают экстремальной длиной
Покажите, что пространственноподобная кривая, соединяющая два события А и SS является геодезической тогда и только тогда, когда ее собственная длина
S= J (?цуdx*dxv)1
экстремальна. (Указание. После того как доказана аналогичная теорема для времениподобных геодезических, это упражнение становится почти таким же легким, как и упражнение 13.5.)
13.7. Измерение метрического тензора посредством световых Сигналов и свободных частиц (Кухарж)
а. Вместо параметризации времениподобных геодезических с помощью собственного времени т введите на них произвольный параметр ^i:
т = F (ji).
Запишите уравнение геодезических в (!-параметризации.
б. Воспользуйтесь в качестве параметра временнбй координатой t. Бросьте облако свободных частиц с различными «скоростями» Vі = dxi/dt и проследите за их «ускорениями» a* = Рассмотрите, какие сочетания компонент аффинной связности 1\х, можно при этом измерить. (Считайте, что нет стандартных часов, способных отмерять т!)
в. Покажите, что используя одни только световые сигналы, распространяющиеся вдоль нулевых геодезических g^dx'dx* = О, можно измерить конформную метрику g\x, т. е. отношение компонент метрического тензора glM к заданной компоненте (скажем Soo)
= Ag*, А = (—g^)-1.
г. Объедините теперь результаты пунктов «б» и «в». Предположите, что Г1**, определяются метрическим тензором, согласно (13.22) и (13.23), в координатной системе отсчета а>. Покажите, что задание A в одном событии (эвкивалентное выбору едивицы измерения времени) позволяет определить его повсюду.
УПРАЖНЕНИЯ
2
394 13 • Риманова геометрия
Дополнение 13.2. «ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ» II «ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ МИРОВЫЕ ЛИНИИ»
Как только коэффициенты связности Tauv оказываются выраженными через эйнштейновские гравитационные потенциалы ^liv с помощью соотношений (13.22) и (13.23), что на данном этапе изложения уже имеет место и будет иметь место на протяжении остальной части книги («риманова, или метрическая геометрия»), ¦становится допустимым и уместным объединить под одним словом «геодезическая» два до спх пор различных понятия: 1) параметризованную мировую линию, удовлетворяющую уравнению геодезических
и 2) мировую линию, вдоль которой собственное время между двумя событиями Л и SB достигает экстремального значения (или кривую, если она пространственноподобна, вдоль которой собственная длина достигает экстремального значения). Одна из причин возможных недоразумений состоит в том, что в первом случае подразумевается соответствующим образом параметризованная кривая (что существенно, например, при построении лестницы Шилда, использованном для параллельного переноса в гл. 10), тогда как во втором случае речь идет только о том, по какому маршруту в пространстве-времени проходит мировая линия, и не имеет никакого значения, какая при этом использована параметризация и была ли она вообще введена. При этом, однако, не отрицается возможность «разметки» экстремальной кривой «задним числом» при помощи наиболее естественного и легко вычисляемого параметра — собственного времени, после чего экстремальная кривая второго случая будет удовлетворять уравнению геодезических для кривой в первом случае. Мы легко избавимся от этой неопределенности, если всегда будем подразумевать соответствующую параметризацию: впредь под словом «кривая» следует понимать параметризованную кривую, а под словом «геодезическая»— соответствующим образом параметризованную геодезическую.
Дополнение 13.3. «ДИНАМИЧЕСКИЙ» ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
Если для принципа экстремальной длины
выбор параметризации не имеет значения ЫХ сокращается в (1)], и если уравнение геодезических требует соответствующей параметризации, то уместно поискать другой экстремальный принцип, который сразу бы давал как правильную кривую, так и правильный параметр. По аналогии с обычной механикой можно ожидать, что уравнение движения [уравнение геодезических