Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
390 13. Риманова геометрия
При фиксированном X значения метрических коэффициентов guv 1л-® (Я.)] на различных кривых отличаются на
fifov = *uv К (V + (Я)! -ftiv 1«“ Wl = -?1 (X); (13.28)
а компоненты dxv/dk касательного вектора—на
(‘3-29)
Эти изменения guv и dxv/dX при фиксированном X приводят к соответствующим изменениям промежутка собственного времени, задаваемого выражением (13.27):
И-8уIV (da*IdX) d (6av) Idk-^fgtiv, „6аа) (da*/dX) (dav/dk) |
[-^ve (da'ldX) (da6/dX)]l/* J dk'
Проинтегрируем первое слагаемое по частям. Члены, соответствующие конечным точкам, опускаем, поскольку обе кривые должны проходить через Jb и 38 (Sali = 0 при X — 0 и при X = 1). В результате получаем
Г da1 da® П1^2
6т = J /„ (X) ба° [ —gyi dx. (13.30)
X-O
Здесь через /о («силовой член») в подынтегральном выражении сокращенно обозначены четыре выражения
dav
I d gav dX
to Ck) ¦
Г da^ da6 -]1/a dk г da'> da® -.1/2
I. gy6 dX dX J L gy6 dX dX J
I d&iv da11 da?
T dx° dX dX
snr;- (,3-31)
Г dav da ]
I Єуй dX dl J
Достижение экстремума и обращение в нуль изменения бт в первом порядке при произвольном отклонении первого порядка Saa (X) от оптимальной траектории Xа = аа (X) имеет место тогда, когда все величины fa, умножаемые на Sa0, обращаются в нуль. Таким образом, для определения экстремальной мировой линии мы получаем четыре условия
/о (X) = 0. (13.32)
(Другой подход к проблеме нахождения экстремума представлен на фиг. 13.3.)
Будучи достаточными, эти четыре условия не являются независимыми, поскольку здесь применим довод «нитки бус» (бт авто-
§ 13.4. Геодезические — мировые линии с экстрем, совете, временем 391
2
матически обращается в нуль при любых изменениях, сводящихся к простому смещению точек вдоль фиксированной мировой линии, подобных передвижению бусин по нитке). Операция простого «передвижения бусин» описывается тривиальной вариацией
baP(X) = h(X)-^- , (13-33)
где h (X) — произвольная функция точки на мировой линии («в одном месте перемещение больше, чем в другом»). Зная заранее, что эта операция не может изменить т мы заключаем, что подстановка (13.33) вместо Ьа° в подынтегральное выражение (13.30) должна обращать его в нуль; более того, подынтегральное выражение должно обращаться в нуль при любом выборе произвольного множителя h (X), описывающего «величину перемещения».
Чтобы удовлетворить этому требованию, скалярное произведение JodaaIdX должно автоматически обращаться в нуль; другими словами,
/о — 0. (13.34)
Приведенные доводы и последнее уравнение справедливы независимо от того, имеем ли мы дело с оптимальной мировой линией или нет. Соотношение такого типа, которое справедливо независимо от того, является ли мировая линия допустимой траекторией свободной пробной частицы (траекторией с экстремальным промежутком собственного времени) или нет, называется тождеством. Соотношение (13.34) — важное тождество в теории геодезических пространства-времени — является в некотором роде предшественником тождеств Бианки — важнейших тождеств в теории кривизны пространства-времени, изучаемых в гл. 15.
Произвол, который существует в «сдвиге значений X вдоль мировой линии», можно использовать с той целью, чтобы вместо произвольного параметра X ввести физически более интересный параметр собственного времени
Л=[-»*4гтг],/,<й- <13'35>
Остановившись на конкретной мировой линии Xti = а(X) и забыв про все ее деформации, мы можем повсюду заменить а>* (X) на х*1 (X). Тогда дифференциальные уравнения (13.32) для экстремальной мировой линии сводятся к
d2.rv , I / dgav . dgan ^nv \ dx^ dxv Л 0 оо\
ї-Ж+!(-і/+-іг-ї-)Т7Г-'' (13-36*
Между прочим, отметим, что тождество (13.34) вытекает теперь из соотношения
г"”ТГ'§Г+1"0' <13-37>
2
392 13. Риманова геометрия
УПРАЖНЕНИЯ
которое нужно один раз продифференцировать (по т). Таким образом, интерпретация этого тождества сводится к тому, что 4-ско-
рость и 4-ускорение ортогональны друг другу для любой мировой линии независимо от того, экстремальна она или нет. Вернемся теперь к уравнению прямой линии в локальной лоренцевой геометрии (13.36) и, подняв в нем индекс с помощью gP°, приведем его к виду
dtx^ , I / dSav dSaiX dSvtV \ dx^ dxv А /л 0 ооч
2І-&- + -&—&-) Л--ЗГ-0' <13 38>
Сравним его с уравнением геодезических в обычной для «домет рической геометрии» форме
і рР dx>l — Q /43 394
dx2 +1 dx dx -и-
Отсюда приходим к выводу, что геодезические дометрической геометрии совпадают с прямыми линиями локальной лоренцевой геометрии в том и только том случае, если выполнены два условия: 1) 40 коэффициентов связности TPliv, определяющих геодезические, ковариантную производную и параллельный перенос, должны выражаться через десять метрических коэффициентов g^v («эйнштейновские гравитационные потенциалы») посредством соотношений (13.22) и (13.23), полученных выше; 2) параметр геодезических А должен совпадать с собственным временем т с точностью до произвольного выбора нулевой точки и произвольного, но постоянного масштабного множителя, т. е.
