Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
2, ... являются многочленами, а при п = -1, -2,... называются функциями
Эрмита второго рода. Показать, что функции Эрмита второго рода можно
представить через функцию ошибок и ее производные [17]. Проверить, что
функции Фл (z, s) = Hn(z)s", п = 0, ±1, ±2 удовлетворяют рекуррентным
соотношениям
Я,Ф" = Фп+1, Я°ФП = (п + '/г) Фт Я_,Ф" = (п/2)Ф"-,,
ЯгФя = Фя+2" Н-2Фя = 1/гя(я 1) Фл-2,
где операторы Я/, определяемые формулами (2.23), образуют базис для
алгебры симметрии комплексного уравнения теплопроводности. Доказать, что
это представление не является неприводимым. Пользуясь простыми моделями,
построенными в разд. 2.2, вычислить матричные элементы этого
представления и получить соответствующие тождества для специальных
функций; в частности, вывести тождество, связанное с выражением ехр
(аЯ^Ф-ь
8. Получить билинейное разложение фундаментального решения k (t, х, у)
(3.19) уравнения Шредингера для изотропной свободной частицы в элементах
базиса многочленов Лагерра. Показать, что разложение является частным
случаем формулы Хилле - Харди (4.27). Получить билинейное разложение
решения в элементах континуального базиса см. (3.16).
9. Найти алгебру симметрии комплексного уравнения теплопроводности д(Ф -
дххФ - дуу Ф = 0.
Глава 3
УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА И ЛАПЛАСА С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
3.1. Уравнение Гельмгольца
(А3 + й2)'Р = 0
Вопрос о разделении переменных для .уравнения Гельмгольца с тремя
переменными или приведенного волнового уравнения
(Аз + ю2) 'Г (хь х2, х3) = О, А3 = дХ1Х[ + дхгхг + дХ1Ха, со > 0, (1.1)
изучен подробно, и возможные системы координат, допускающие разделение
переменных для этого уравнения, известны [99, 101]. Впервые указания на
связь между системами координат, допускающими разделение переменных для
уравнения (1.1), и евклидовой группой симметрии ?(3) этого уравнения
появились в работе [76]. Однако лишь в последнее время наблюдается
систематическое использование этой связи с теорией групп для установления
свойств решений уравнения Гельмгольца с разделенными переменными.
Пользуясь нашими обычными методами, находим, что (помимо тривиальной
симметрии Е) алгебра симметрии уравнения
(1.1) шестимерна, имеет базис
p! = d/ = dxj< j= 1,2,3,
J i = х3д2- х2@з> Ь = х\дз - х3ди /3 = х2д\-Х\д2 и удовлетворяет
соотношениям коммутирования
Uh Jm\ = Z 8tmnjn, [II, Pm] = Z 8imnPn, [Pi, Pm] = 0, (1.3)
n n
I, m, n= 1, 2, 3,
где Eimn - тензор, такой, что 8123 - 8312 = 8231 = 1, em = 8213 = = e321
= -1, а все остальные компоненты равны нулю. В качестве алгебры симметрии
уравнения (1.1) возьмем вещественную алгебру Ли 8 (3) с базисом (1.2).
Уравнение Гельмгольца, записанное через операторы Р, принимает следующий
вид:
(Р2 + Р2 + P2) W = - Л (1.4)
В рассматриваемом случае 8'(3) изоморфна алгебре Лп евклидовой группы Е
(3) в трехмерном пространстве, а подалгебра
208 Г л. 3. Уравнения Г ельмеольца и Лапласа с тремя переменными
so(3) с базисом {/i./г,/з} изоморфна алгебре Ли соответствую* щей группы
поворотов 50(3). Чтобы показать это в явном виде, рассмотрим сначала
известную реализацию группы 50(3) как группы вещественных (3X3)-матриц А,
таких, что А*А = Е3 и det А = 1 (см., например, [86, 130]); здесь через
Ез обозначается единичная (3 X 3)-матрица {Ег)ц = Ьц и (А*)}1 = Aihj,l =
1,2,3, Алгебра Ли группы 50(3) в этой реализации является простран-ством
кососимметрических (3X3)-матриц ба-
зис для этой алгебры Ли дается матрицами
; (1.5)
соотношения коммутирования в соответствии с (1.3) имеют вид [fu fm]= 2
zimnf'n. Соответствующая параметризация группы
-о 0 0- - 0 0 1 - ¦0 -1 0-
0 0 -1 . я(r) 0 0 0 . Я = 1 0 0
-0 1 0- --1 0 0 - -0 0 0 -
50 (3) при помощи эйлеровых углов (ср, 0, ф) имеет вид
А (ф, 0, ф) = ехр(ф/з)ехр(0Я)ехр(ф/з),
О ср < 2л, 0 ^ 0 ^ л, 0 ф < 2л.
(1.6)
По мере того как эйлеровы углы пробегают область своих значений, А(ф, 0,
ф) пробегает все элементы группы 50(3). Координаты на групповом
многообразии взаимно однозначны, за исключением тех элементов, для
которых 0 = 0, л, а в этих случаях однозначно определена только сумма Ф+
ф. Более подробное обсуждение этих координат можно найти во многих
работах (например, [86, 122, 130]).
Евклидову группу Е (3) в трехмерном пространстве можно реализовать как
группу вещественных (4 X 4)-матриц. Элементы Е (3) имеют вид
g(A, а)1
О
А О О
й\ Й2 % 1 -
As 50(3), а = {а,\, а^, а3) s R3, (1.7)
а групповое произведение определяется произведением матриц g (A, a) g
(А', а') = g {АА', аА' + а'). (1.8)
Группа Е(3) действует как группа преобразований в трехмерном пространстве
R3, Групповой элемент g(A, а) отображает точку х s R3 в точку
X# = хА + a s R3. (1.9)
3.1. Уравнение Гельмгольца (Аз + сог) Ч* •= 0 209
Из этого определения следует, что x(gg') = (xg) g' для всех xs ^ R3, g,
g' ^ Е(3), и что \g(Eз, 0) = х, где g(E3, 0) - единичный элемент группы
?(3). Геометрически g соответствует повороту А относительно начала
координат (0, 0, 0)е/?3 с последующим переносом на вектор а [86].
