Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
расстояния. Каждый из этих ортогональных многочленов является также
гипергеометрической функцией
в случае (L.la) дает размер орбиты малой дуги dQ, получающийся в
результате поворота, при котором северный полюс неподвижен.
Имеются и другие компактные двуточечно однородные пространства. Для
наглядности рассмотрим множество вершин единичного куба в В этом случае
сферические функции также являются ортогональными многочленами, причем
ортогональны они относительно симметрического биномиального распределе-
вида
некоторых а и Ь. Меру sin 0 dQ
Предисловие редактора серии 21
(
ния I 12 ", х - 0, 1 N, поскольку это распределение
дает размер орбиты любой точки с х нулями и N - х единицами, получаемый в
результате действия на это пространство октаэдральной группы, оставляющей
неподвижной точку (О, 0, ..., 0). Эти ортогональные многочлены также
являются
(~~п> - х\ \
гипергеометрическими функциями 2Fj1 _ ^ 2 I, х, п=0,
1, ..., N, а связывающее их трехчленное рекуррентное соотношение является
одним из соотношений Гаусса для смежных функций. Эти многочлены
называются многочленами Кравчука (хотя введены они были почти сто лет
тому назад Грэмом) и играют важную роль в теории кодирования, которой
посвящен третий том настоящей Энциклопедии ("Теория информации и
кодирования").
Дифференциальные уравнения (L.4), (Т.4) и (Т.4а) получаются при решении
уравнения Лапласа методом разделения переменных. Формулы сложения (L.5) и
(Т.5) относятся к наиболее важным из известных для этих функций формул.
Для большинства двуточечно однородных пространств, где для сферических
функций найдены явные формулы, имеется формула сложения, являющаяся неким
ортогональным разложением и содержащая функциональное уравнение в
качестве постоянного члена. Например, проинтегрировав (L.5) по отрезку
[0, я] по мере сР? и применив формулу (Т.1а), мы получим (L.3). Наиболее
естественный способ вывода формул сложения этого типа состоит в том, что
мы используем действие группы на это пространство. Фактически этим же
методом пользовались Лежандр и Лаплас двести лет тому назад.
Другим важным классом функций, введенным в восемнадцатом столетии,
являются функции Бесселя. Функции Бесселя первого рода Ja(x) можно
определить следующим соотношением:
оо
Г (.Л \^(-\)п(х/2)2п+а Ша с( - -хг\
Ь Т(п + а+ 1)л! Г(а+ 1) °Г\а+ 1 ~Г~ )'
После элементарных трансцендентных функций эти функции изучались наиболее
интенсивно и нашли применение во многих областях, где применяется
математика. Они тесно связаны с функциями Лежандра, и изучением этой
связи занимались многие ученые. Простым примером такой связи является
формула Мел ер а
Пш Рп (cos (z/n)) == /0 (z).
П-* о*
22 tlредисловие редактора серии
Эту формулу можно интерпретировать следующим образом: будем рассматривать
многочлены Лежандра как сферические функции на сфере большого радиуса и
посмотрим, что происходит в окрестности северного полюса. Сфера при этом
уплощается, и это наводит на мысль, что функция Jo(z) должна играть ту же
роль в R2, что и функция Рп(cos 0) на S2. Аналоги зональных функций
называются радиальными функциями, т. е. функциями, зависящими только от
расстояния от начала координат. Пуассон установил следующий важный факт:
если
f (*р *2) = 8 ((*1 + *§)1/2) И 00 00
F (Уи У2) = \ \ f (*ь х2) ехр [г (xlyl + х2у2)] dxx dx2
- 00 -00
то
т("" ",)=0((f, + sT)
И
оо
G (t) = 2я ^ g (г) гJ0 (rt) dr.
о
Следующим важным этапом в исследовании специальных функций было введение
Якоби и Абелем эллиптических функций и тэта-функций. (Исторический обзор
можно найти в работе Миттаг-Лефлера.) После введения этих функций был
сделан целый ряд открытий, которые позволили несколько изменить наш
взгляд на этот предмет. Важным достижением было введение Гейне класса
рядов, аналогичных гипергеометрическим рядам. Напомним, что
гипергеометрическим рядом называется ряд гДе а'i+\/an -
рациональная функция от п. Ряды,
введенные Гейне, имеют вид гДе ап+\/ctn - рациональная
функция от qn для некоторого фиксированного q. Роль, которую в
гипергеометрическом ряде играет сдвинутый факториал (а)п, теперь
исполняет (a; q)n = (1 - а) (1 - aq) ... (1 - aqn~i).
00
Если | <71 <1, то (а; <7)00=П(1 - aQn)> 3 (а\ Qn) = (a, q)co/(aqn-, q)x
п-о
определяется для нецелочисленных значений п, пока имеет место соотношение
aqn+k Ф 1, k = О, 1, ... . Эйлер вычислил два ряда
Предисловие редактора серии
Эти равенства суть частные случаи ^-биномиальной теоремы
оо
Е(а; д)п п _ (а*; ?)",
(?; ?)л (*'> Я)оо
л=0
приписываемой различным ученым. Гейне получил этот резуль-
/ a, b I \
тат, когда предложил основной аналог функции 2^il \х J
в 1847 г., Коши опубликовал доказательство несколькими годами ранее, а
Якоби ссылается на работу Швейнса 1820 г. Эта формула приводится в работе
Швейнса, но последний ссылается на более раннюю работу Роте. К сожалению,
я не знаком с работой Роте и не могу подтвердить, что эта теорема
действительно была известна уже в 1811 г., как утверждает Швейнс;
